计算方法--第3章%20逐次逼近(非线性方程迭代解法).pdf

第3章 逐次逼近法 非线性方程的迭代解法 工程实际与科学计算中都遇到大量求解非线性 方程的问题。 设非线性方程 ( f) x 0 (3-17) 求数a，使f (a)≡0，则称a为方程（3-17 ）的根， 或称函数f (x)的零点。 常见的非线性方程有，代数方程（二次、三次等） 超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。 但是我们发现即使是最基本的代数方程，当次数 超过4时，在一般情况下就不能用公式表示方程的根， 即难于用解析法求出方程的根，对于超越方程那就更 难了。 因此，研究用数值方法计算非线性方程的根就显 ff xx 得非常必要。在求根时通常假设非线性方程 (( )) 0 中的函数 是关于x 的连续函数。 若令 y f x ( ) O xy− 则它在平面直角坐标系 下的图象为连续曲线， ( f) x 0 y f (x ) x α 可见,求 的根，就是求 与 轴的交点 y y f x ( ) x o α ( f) x 0 [ ,a]b [ ,a]b 如果 在区间 上仅有一个根，则称 [ ,a]b 为方程的单根区间；若方程在 上有多个根，则称 [ ,a]b 为方程的多根区间。 方程的单根区间和多根区间统称为方程 的有根区间。为了研究方便，我们主要研 究方程在单根区间上的求解方法。 3.2.1 简单迭代法 ( f) x 0 首先将方程 化为一个与它同解的方程 x x (ϕ) （3-18 ） (ϕ)x ( ) f 0α ≡ 其中 为x 的连续函数。即如果数α使 ， 则也有 α ≡(ϕ)α ， 反之，若a≡f(a) ，则也有f (a)≡0。 任取一个初始值 x 代入（3-18）的右端，得到 0 ， x x ( ϕ) x x x ( ϕ) 1 0 再将 1 代入（3-18）右端得 2 1 ， 继为之，得到一个数列， 其一般表示形式为