华工数学实验报告-微分方程.doc

《数学实验》报告

学院：电子信息学院

专业班级：信息工程电联班

学号：

姓名：

实验名称：微分方程

实验日期：2016/04/19

实验目的

了解求微分方程解析解的方法

了解求微分方程数值解的方法

了解dsolve,ode45指令的使用方法

实验任务

1.用dsolve函数求解下列微分方程

（2）

2.我辑私雷达发现，距离d处有一走私船正以匀速a沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速v）追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，则辑私舰的运动轨迹是怎么的？是否能够追上走私船？如果能追上，需要多长时间？

实验过程

3.1实验原理

3.1.1任务一

dsolve(‘equation’,’condition’,’v’)

（1）equation是方程式，condition是条件，v是自变量（缺省为t）

（2）若不带条件，则解中带积分常数

（3）如果没有显示解，则系统尝试给出隐式解

（4）如果无隐式解，则返回空符号。

3.1.2任务二

以为原点建立坐标系。设缉私船出发的起点坐标为，根据题意，经过时间t，走私船到达S(at,0)，缉私船到达M(x,y)，追赶时，缉私船总是向走私船所在的位置追赶，设在t+dt时刻，缉私船到达，则M,M’,S三点一线，如图二所示。

M(x,y)

M(x,y)

图2dt时刻追击图

由图可知，

即

此即缉私船的追辑模型。

方程（2）两边对y求导，得

又因为缉私船的速度恒为v，因此

即

把方程（5）代入（3），并结合初始条件：，可知，求解模型（2），即求解如下模型

其中为常数。

3.2算法与编程

3.2.1任务一

y=dsolve(D2y=Dy+2*y,y(0)=1,Dy(0)=0,x)

3.3.2任务二

3.2.2.1、x=dsolve(y*D2x=k*sqrt(1+(Dx)^2),x(y0)=x0,Dx(y0)=x0/y0,y)

3.2.2.2、定义微分方程句柄

functiondx=odefun(y,x)

globalc;

dx=zeros(2,1);

dx(1)=x(2);

dx(2)=c*sqrt(1+x(2)*x(2))/y;

end

3.2.2.3、求微分方程的数值解

functionode(vc)

globalc;%全局变量

holdon;%保持图形窗口

tspan=1:-0.0001:-0.1;

color=rgby;

fori=1:length(vc);

c=vc(i);

[y,x]=ode45(odefun,tspan,[-1-1]);

plot(x(:,1),y,color(i));

end

axis([-1.1501.1]);

legend(k=0.6,k=0.7,k=0.8,k=0.9);

holdoff;

end

3.3计算结果或图形

3.3.1任务一、

y=

(2*exp(-x))/3+exp(2*x)/3

3.3.2任务二

当时，方程（6）的解为

当时，方程的解为

其中，

分析可知，当时，即缉私船的速度小于走私船的速度时，，因此缉私船不能追上走私船。

当k1时，即即缉私船的速度大于走私船的速度时，令y=0,解得走私船行驶距离为

追上所需时间为

在追上的情况下，我们取k值分别为0.6，0.7，0.8，09，作出缉私舰的运动轨迹如图3所示。

图3缉私舰运动轨迹图

3.4结果分析

3.4.1任务一

所得的结果满足任务要求.

3.4.2任务二

所得的结果满足任务要求。

4.实验总结和实验感悟

这次实验难度比以往的要大，主要是出现了解决应用问题的难点，需要自己理解题意后，找到该图具有的内部条件关系，再列出微分方程，最后利用函数解决。其中需要我们进行简单的分类讨论，根据不同的速度比值分析不同的结果，难度加大，在询问老师和同学后成功解决问题。细节方面还是有比较大的问题，比如Dx和dx不分，画图时坐标轴的选定等，以后要提升。