2001—2002年国内外数学竞赛题选解(二).pdf

维普资讯 中 等 数 学 2001~2002年国内外数学竞赛题选解 (二) 李 建 泉 娄 姗 姗 张 茗 (天津师范大学数学科学学院，3ooo74) (中等数学杂志编辑部，30o02o) (天津市实验中学，300074) 二、组合部分 l3+XI23+ I34+1：234+Xt234-3-。 … l·，·… 3 n 1．在一次国际会议上 。有四种官方语言 ．任意两 Xl4+X124+XI34+ 2 +X1234-g- …· 名会议代表可以用这四种语言之一进行讨论．证明： 将第一个不等式乘 2再与其他不等式相加 ，得 至少有60％的会议代表能讲同一种语言． 3(I2+ I3+ ¨)+4(I趋+ I24+ I)+ (2o02，罗马尼亚为 IYlO和巴尔干地区数学奥林 匹克选拔考试供题 (第二轮)) 3234+5l3∑ ， 证明：假设这四种语言分别为 1，2，3，4． 即 l+ l24+ l34+2l2340． (1)若存在一名会议代表只会一种语言，则显然 矛盾 ． 其他代表均会这种语言 ． 2．设 A是集合 {1，2，3，…，16}的一个 元子集， (2)每名会议代表至少会两种语言，且只讲两种 且 A的任意两个子集的元素之和互不相等．而对于 语言的‘代表中没有公共语言．因此，对称地将会议代 集合 {1，2，3，…，l6}的包含集合 A的任意 +1元子 表分成如下的8类 ： 集 B，则存在 B的两个子集，它们的元素之和相等． (1，2)，(1，3)，(2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)， (1)证 明：≤5； (1，3，4)，(2．3，4)，(1，2，3，4)． (2)求集合 A的元素之和的最大值和最小值． 如果能讲语言 1，2，3的会议代表少于60％，用 (2002，保加利亚冬季数学竞赛) ，… ． 表示会讲语言 i， 的会议代表的数 目，则有 ． 证明：(1)因为 A有 2个子集 (包括空集)，且任 XI2+XI3+XI23+XI24+ l34+XI2M-3j-2’1 ， 意两个子集的元素之和互不相等，所以A的元素之 一 JJ··… 和至少有 2 一1个 ．