【荐】2015—2015年国内外数学竞赛题选解(五)【荐】.pdf

维普资讯 中等 数 学 2001~2002年国内外数学竞赛题选解 (五) 李 建 泉 (天津师范大学数学科学学院，3ooo74) 娄 姗 姗 张 茗 (中等数学编辑部，3eoo2o) (天津市实验中学 ，3ooo74) 注：A、A：(i=1，2，3，4)为 r、r 公切线的切点． 四、几何部分 2．设 、Ⅳ分别是△ABC的边AC、BC上的点， 1．在平面直角坐标系中，考虑双曲线 且 ACB=90*．设 AⅣ与 BM 交于 点 ￡．证 明： r：{Jl，(，)，)∈ l一)，：1} △ AML、△ BNL的垂心与点C三点共线 ． (2002，保加利亚冬季数学竞赛) 和二次曲线r ，且r 与r不相交．设 ，I(r，r )是点 证 明：如 对 (A，A)∈r×r 的数 目的最大值 ，且满足对所有 图 l，设△A肘￡ (B， )∈r×r ，有 AA≤衄 ．对于每一个 P∈{0， 和△ 的垂 1，2,4}，当 (I1，I1)：P时，求I1的一个方程 (I1只 心分别为 、 考虑圆、椭圆、双曲线和抛物线)． ， 与 (第53届罗马尼亚数学奥林匹克(决赛)) BM 的延长线 解：(1)P=0．设 r ： 一y2：2．考虑 点 交于点 P，AC 与饼。交于点 B (，-／ )∈r，(，-／ )∈r，则 Q，BC与 交 于 点 R， 图1 |一2 | 2 BB=√专一t一√ 一2 占 与AⅣ的延长线交于点Js． 由A、P、C、B四点共圆，得 ／PAC： 地C：由 。 ，I A、C、S、B四点共 圆，得 IAC： SBC．所 以， 日l舡 = 上矾 ． 当 ，I一 +∞时 ，BB ，所 以，，I(r，r )=0． 又 PHlL=90D一 PIlt。= 磁 ，因此 ， (2)P：1．设r ： 一 +Y =0．设 A(2，0)，