2019年中考数学复习2.1由比例线段产生的函数关系问题.pdf

§2. 1 由比例线段产生的函数关系问题 课前导学(一) 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题. 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系.还有一种不常见的， 就是线段全长等于部分线段之和. 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用. 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边.如图1,已知点A的坐标为(3, 4),点B 是x轴正半轴上的一个动点， OB=x, AB=y,那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y 关于x的函数关系式. 类型二，图形的翻折.已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB=5,点0沿直线EF翻折后，点 0的对应点D落在AB边上， AD=x, OE=y,那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x 的函数关系式. 由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用. 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例. 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义 域. 关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错. 课前导学（二） 图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题. 计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行 计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似 比的平方. 前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单. 一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下 （x为何值时），S取得 最大值或最小值. 关于面积的最值问题，有许多经典的结论. 例1,周长一定的矩形，当正方形时，面积最大. 例2,面积一定的矩形，当正方形时，周长最小. 例3,周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆. 例4,如图1,锐角的内接矩形DEFG的面积为y, AD=x,当点D是AB的中点时，面积y最大. 例5,如图2,点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，APAB的 面积最大. 例6,如图3, △ABC中，ZA和对边BC是确定的，当AB=AC时，△ABC的面积最大. 图1 图2 图3 例1 2019年湖南省常德市中考第26题 如图1,图2,已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P,作PE1AD (或延长线)于E, 作PF±DC (或延长线)于F,作射线BP交EF于G. (1) 在图1中，正方形ABCD的边长为2,四边形ABFE的面积为y, AP=x,求y关于x的函数表 达式； (2) GB_LEF对于图1,图2都是成立的，请任选一图形给出证明； (3) 请根据图2证明：△FGCs^PFB. 动感体验 请打开几何画板文件名 “14常德26”，拖动点P在射线AC上运动，可以体验到，EM和FN把正方形 ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F四点共圆. 思路点拨 1. 四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到. 2. 画直线EP、FP,把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形. 图文解析 (1)如图3,延长EP交BC于M,延长FP交AB于N,那么四边形AEPN和四边形CFPM是正方形. ZEFP^ZPBN. 又因为Z1 = Z2, Z + ZPBN=90° ,所以Z2+ZEFP=90° .所以 GB±EF. (3)如图5,由于GB±EF, ZBCF=90° ,所以B、C、G、F四点共圆. 所以ZFCG=ZPBF, ZCGB=ZCFB. 又因为ZCGF=ZCGB+90° , ZBFP=ZCFB+90° ,所以ZCGF=ZBFP. 所以△ FGC^APFB. 如图 6, 由于 tanZEFP=tanZPBN, 所以ZEFP=ZPBN. 又因为ZPBN+Z1=9O° ,所以ZEFP+Z1=9O° . 因此这种情况下，依然有BG±EF. 第（1）题还有更简便