南昌航空大学2010年第二学期高等数学期末考试复习题.doc

南昌航空大学2009—2010学年第二学期期末考试复习题

计算题汇总

一、求偏导数

1、设，其中有一阶连续偏导数，求，。

2、设，证明：。

二、求曲面在点处的切平面及法线方程。

三、计算下列重积分

1、，其中由及所围成；

解：

2、，其中由所围在第一像限部分。

解：

3、，其中由锥面与围成。

解：

四、计算曲线或曲面积分

1、，其中为；

解：

2、，其中是抛物面位于平面下方的部分；

解：

3、，其中是柱面被及所截部分外侧。

解：用分别表示平面及上单位圆内部分，它们与一起构成闭曲面，记其所围区域为。由高斯公式，得

五、判别下列纺数是否收敛，若收敛是条件收敛还是绝对收敛？

1、；2、。

六、求幂级数的收敛域及和函数。

解：收敛域是，和函数是

七、解下列微分方程

1、；

解：。

2、；

解：。

3、。

解：

八、设曲线积分与路径无关，其中有二阶连续导数，且，，求函数。

解：

九、设正项级数及均发散，讨论下列级数的敛散性，要求证明你的结论或给出反例。

1、；2、

解：1、级数发散。因为级数和都是正项级数，且

由比较判别法知级数发散。

解：2、级数可能收敛也可能发散。

例如，设，则正项级数及均发散，而级数也发散。

又例如，设，则正项级数及均发散，而级数收敛。

十、设，，函数二次可微，满足方程，且，求。

解：

令，则有，

，

由可得。