建筑力学教学课件 第14章静定结构的位移.ppt
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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 14.6.1 功的互等定理 在结构上先加Fi后加Fj,梁的先后变形情况如图14-20(c)所示,则外力所做总功为 ① 若先加Fj后加Fi,梁的先后变形情况如图14-21(d)所示,则外力所做总功为 ② 式中,Δij下角标中的i表示位移的序号,j表示引起位移的原因。 14.6.1 功的互等定理 在上述两种加载过程中,外力作用的先后顺序虽然不一样,但是最终的荷载是相同的,根据线弹性体系解的唯一性定理,体系最终的变形情况也是相同的。因此,两种加载情况使体系所储存的变形能也相同。根据能量守恒定理,上述两种加载情况外力所做的总功应相等,即外力所做总功与加载次序无关。故 Wi=Wj (14-16) 将式①和式②代入式(14-16)得 14.6.1 功的互等定理 所以 FiΔij=FjΔji (14-17) 式(14-17)表明:在线弹性体中,状态i的外力在状态j的位移上所做的功等于状态j的外力在状态i的位移上所做的功,即功的互等定理。 另外,Fi和Fj可以是广义力,此时,位移Δij和Δji就是与之相应的广义位移。功的互等定理可以适用于杆件体系外的线弹性连续体。 14.6.2 位移互等定理 设图14-21所示的梁状态中,Fi和Fj均为广义单位荷载。其中,δij表示由单位力Fj=1引起的Fi作用处相应的广义位移,δji表示由单位力Fi=1引起的Fj作用处相应的广义位移,由式(14-17)得 1·δji=1·δij 即 δji=δij (14-18) 图14-21 位移互等定理的推导 14.6.2 位移互等定理 式(14-18)是位移互等定理,即对于同一线性变形体,第j状态的单位力所引起的第i状态单位力作用点沿其作用方向的位移等于第i状态的单位力所引起的第j状态单位力作用点沿其作用方向的位移。由此可见,位移互等定理只是当Fi=Fj=1时功的互等定理的一种特殊形式。 14.6.3 反力互等定理 反力互等定理是功的互等定理的另一个特殊形式,它用来说明超静定结构在两个支座处分别产生单位位移时,这两种状态中反力的互等关系。图14-22所示为同一超静定结构的两种变形形态。 图14-22 反力互等定理的推导 14.6.3 反力互等定理 状态i为由支座i发生单位位移δi=1 的状态,此时在支座i和支座j处引起的支座反力分别为rii和rji,如图14-22(a)所示;状态j为由支座j发生单位位移δj=1的状态,此时在支座i和支座j处引起的支座反力分别为rij和rjj,如图14-22(b)所示。其他支座反力因为所对应的另一种状态的支座位移都为零而不做功,故在图14-22中未给出。 14.6.3 反力互等定理 根据功的互等定理得 rii·0+rji·1=rij·1+rjj·0 即 rji=rij (14-19) 式(14-19)就是反力互等定理,即在任一线弹性变形体中,由单位支座位移δj=1所引起的与支座位移δi=1相应的支座反力等于由单位支座位移δi=1所引起的与支座位移 δj=1相应的支座反力。 14.6.4 反力位移互等定理 反力位移互等定理仍然是功的互等定理的一个特例。它说明的是一个状态中的反力与另一个状态中的位移之间的互等关系。如图14-23所示,当超静定梁的i点作用Fi=1时,在支座j处引起反力矩kji=1,其指向如图14-23(a)所示 图14-23 反力位移互等定理的推导 14.6.4 反力位移互等定理 此为状态i;在支座j处沿kji的方向发生一单位转角φj=1时,在i点沿Fi方向上引起位移δij,如图14-23(b)所示,此为状态j。根据功的互等定理得 kji·1+1·δij=0 即
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