2015考研数学(线代讲义).doc

2007考研数学基础班线性代数讲义 前 言 1．复习线性代数应该着重于概念部分 线性代数的特点：概念性强，它的许多概念和性质比较复杂和抽象，而计算题型不多，它们虽然计算量大，但是方法初等，技巧性差。 另一方面，考研命题的特点是综合，多变，追求新颖，因此题目的典型性淡化了，灵活性增加了。这个特点尤其在线性代数上反映得最明显。于是，在理论上提高自己，加深对概念的理解，拓宽解题思路，增强应变能力才是应对这样的考题的有效途径。 为此，我认为对线性代数的考前准备，自始至终都应该把加深理论的理解放在最重要的位置上。在现在的基础复习阶段更加应该这样做。重点放在帮助大家在理论上打好基础，并在此基础上改进解题方法。 2．怎样来复习概念？梳理，沟通，充实提高。 梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。 沟通：突出各部分内容间的联系。 充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。 大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。 3．对大家学习的建议 学习数学一定要自己动脑，动手。我们的课程比学校的课程是大大浓缩的，强度很大。要想收到好的效果不能只听，自己要花很大努力。 （1）有预习，最好先把过去学这门课时的教材和笔记看看。 （2）听课时着重于理解，不要只顾记笔记。在所发的讲义中，重要的内容都会写出的。 （3）最好能同步的复习，消化，做题。为此在相邻的两次课之间留有足够的时间。 第一讲 基本知识 一．线性方程组的基本概念 与不一定相等。 两个研究目标： （1）讨论解的情况 （） 唯一解，无穷多解，无解 （2）求解，无穷多解时求通解。 齐次线性方程组：。 零解（）。 唯一解：即只有零解。 无穷多解：有非零解。 二．矩阵和向量 1．什么是矩阵和向量 系数矩阵 增广矩阵 ， 2．线性运算与转置 ①加（减）法 ②数乘 ① ② ③ ④ ⑤或。 向量组的线性组合 ， 。 转置 的转置（或） ， 。 3．阶矩阵 行、列的矩阵。 对角线，其上元素的行标、列标相等 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵 上（下）三角矩阵 对称矩阵。 反对称矩阵。 三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 初等变换分 三类初等行变换 ①交换两行的上下位置 ②用非零常数乘某一行。 ③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换） 阶梯形矩阵 ①如果有零行，则都在下面。 ②各非零行的第一个非元素的列号自上而下严格单调上升。 或各行左边连续出现的的个数自上而下严格单调上升，直到全为。 台角：各非零行第一个非元素所在位置。 简单阶梯形矩阵： 3．台角位置的元素都为1 4．台角正上方的元素都为0。 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。 如果是一个阶矩阵 是阶梯形矩阵是上三角矩阵，反之不一定，如 是上三角，但非阶梯形 四．线性方程组的矩阵消元法 用同解变换化简方程再求解 三种同解变换： ①交换两个方程的上下位置。 ②用一个非数乘某一个方程。 ③把某一方程的倍数加到另一个方程上去，它在反映在增广矩阵上就是三种初等行变换。 ，，，。 矩阵消元法： ①写出增广矩阵，用初等行变换化为阶梯形矩阵。 ②用判别解的情况。 i）如果最下面的非零行为，则无解，否则有解。 ii）如果有解，记是的非零行数，则 时唯一解。 时无穷多解。 iii）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉的零行，得，它是矩阵，是阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 则都不为。 于是把化出的简单阶梯形矩阵应为 其方程为 即就是解。 第二讲 行列式 一．形式与意义 A是阶矩阵，表示相应的行列式。 二．定