ch7_4空间曲面方程.pdf
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§7 曲面方程与空间曲线方程
§7.1 曲面方程
球面、柱面、锥面、旋转曲面
§7.2 空间曲线方程
§7.1 曲面方程
引例: 求到两定点A (1,2,3) 和B(2, -1,4)
等距离的点的轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x ,y , z ) , 则 AM 2 BM 2 , 即
( 1) x ( 2)y ( 3)z 2 2 2 (x 2)2 (y 1)2 (z 4)2
化简得
2 6 2 7 0x y z
说明:动点轨迹为线段AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
曲面及其方程
定义 . 如果曲面 S 与方程F( x, y, z ) = 0 有:
(1) 曲面S 上的任意点的坐标都满足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 称为曲面S 的方程, 曲面S
称为方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题: F (x ,y ,z ) 0
①已知一曲面作为点的几何 z
轨迹时, 求曲面方程. S
②已知方程时, 研究它所表示
的几何形状( 必要时需作图 ). x o y
球面方程
球面:动点到定点M 0 (x0 ,y 0 , z0 ) 距离为 R 的轨迹.
(x x0 )2 (y y 0 )2 (z z0 )2 R 2
球心:M (x ,y , z ),半径:R
0 0 0 0
设轨迹上动点为M (x ,y , z ), 则 z
M M 2 R 2 M 0
0
特别,当M 在原点时,球面方程为 M
0
2 2 2 2
x y z R o y
x
2 2 2
z R x y 表示上(下)半球面 .
2 2 2
x y z x y 2 4 0
例1. 研究方程
表示怎样的曲面.
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