专题08 数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（新高考专用）（原卷版） .pdf

专题08数列

题型一：数列求最值问题0易错点：混淆数列与函数的区别

题型二：等I:嗷列利用中项求其它易错点：忽视两个中项的区别

题型三：等曜冽求和妇、易错点：忽略等比数列求和时对q的讨论

题型四：求通项公式%、易错点：由％求血时忽略对〃=1的检验

^5：数列赫孩、易错点：裂项求和留项出错

易错点一：混淆数列与函数的区别(数列求最值问题)

1、等差数列的定义

(1)文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数；

(2)符号语言：an+i-an=d(n^N\H为常数).

2、等差中项：若三个数sA,人组成等差数列，则A叫做s人的等差中项.

3、通项公式与前〃项和公式

(1)通项公式：％=%+(〃—l)d.

(2)前〃项和公式：.

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(3)等差数列与函数的关系

①通项公式：当公差d^O时，等差数列的通项公式an=al+(n-l)d=dn+al-d是关于〃的一次函数,

且一次项系数为公差若公差d0f则为递增数列，若公差H0,则为递减数列.

②前〃项和：当公差S0时，=叫+气=?/?+(《_?)是关于〃的二次函数且常数项为o.

已知数列｛%｝是等差数列，S〃是其前〃项和.

1、等差数列通项公式的性质：

(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,m^N^.

(2)若k+l=m+n(k,l,m,neN*),则ak+ai~am+an•

(3)若｛%｝的公差为d,贝，｛%〃｝也是等差数列，公差为2H・

(4)若他｝是等差数列，贝\\｛pan+qbn｝也是等差数列.

2、等差数列前〃项和的性质

(1)$2〃=*%+%)==g+4+i);

(2)，2〃_1=n-1)%；

(3)两个等差数列｛%｝,｛如｝的前n项和咒，岩之间的关系为*牛

12n-lDn

(4)数列，,52m-Sm,S3m-S2m,成等差数列.

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2乃，则S偶-5奇=〃』，=

3偶an+l

(2)若项数为2n-l,则S偶=(-1)。〃，S、=11%,S奇-S偶=%,—.

S偶〃-1

最值问题：解决此类问题有两种思路：

一是利用等差数列的前〃项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；

二是依据等差数列的通项公式为=%+(〃-l)d=d〃+0-d),当H0时，数列一定为递增数列，当刁0时,

数列一定为递减数列.所以当％。，且d0时，无穷等差数列的前〃项和有最大值，其最大值是所有非

负项的和；当《。，且H0时，无穷等差数列的前〃项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解

非负项是哪一项时，只要令％2。即可

易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性

求解数列问题，要注意〃的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.

例.已知等差数列｛%｝的前〃项和为Sn,且％=1,s5=io,求取得最大值时对应的〃值.

变式1.数列｛%｝是等差数列，％=5。，d=T.6.

(1)从第几项开始有％v。？

(2)求此数列的前〃项和的最大值.

变式2.记为等差数列｛%｝的前〃项和，已知％=-7,53=-15.

⑴求｛%｝的通项公式;

⑵求的最小值.

变式3.等差数列｛%｝,%=-11,公差d=—3.

（1）求通项公式和前〃项和公式；

（2）当〃取何值时，前〃项和最大，最大值是多少.

菖三

1.已知数列｛%｝是等差数列，若％+。12＜0,%0