2026版步步高大一轮高考数学复习第七章 立体几何与空间向量第1节 基本立体图形及几何体的表面积与体积含答案.docx
2026版步步高大一轮高考数学复习第七章立体几何与空间向量
考试要求1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
【知识梳理】
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点,但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等,垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
2.直观图的斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=2πrl
S圆锥侧=πrl
S圆台侧=π(r1+r2)l
4.简单几何体的表面积和体积公式
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=eq\f(1,3)Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=eq\f(1,3)(S上+S下+eq\r(S上S下))h
球
S=4πR2
V=eq\f(4,3)πR3
[常用结论与微点提醒]
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理).
2.直观图与原平面图形面积间的关系S直观图=eq\f(\r(2),4)S原图形.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.()
(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()
(3)菱形的直观图仍是菱形.()
(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
解析(1)不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,(1)错误.
(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥,(2)错误.
(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等,(3)错误.
(4)球的体积之比等于半径比的立方,故(4)错误.
2.(必修二P106T8改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′∥FG,则剩下的几何体是()
A.棱台 B.四棱柱
C.五棱柱 D.六棱柱
答案C
解析由于平面ABFEA′∥平面DCGHD′,且AD,BC,FG,EH,A′D′相互平行且相等,
所以剩下的几何体是五棱柱.
3.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2),其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()
A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.4eq\r(2)
答案B
解析设圆锥的母线长为l,
因为该圆锥的底面半径为eq\r(2),侧面展开图为一个半圆,
所以2π×eq\r(2)=πl,解得l=2eq\r(2).
4.(必修二P120T5改编)一个长方体的顶点都在球面上,且长方体的棱长分别为1,2,3,则球的表面积为________.
答案14π
解析设球的半径为R,
则2R=eq\r(12+22+32)=eq\r(14),则R=eq\f(\r(14),2),
故球的表面积为S=4πR2=14π.
考点一基本立体图形
角度1结构特征
例1(多选)下列说法中正确的是()
A.以直角梯形垂直于底面的腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D.棱台的各侧棱延长后必交于一点
答案AD
解析由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台,故A正确;
由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误;
底面是正多边形的棱锥,但不能保