广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）.docx
广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．设，其中为实数，则（????）
A． B．
C． D．
2．已知数据，，…，的平均数为4，那么数据，，…，的平均数为（????）
A． B． C．1 D．17
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使的充分条件是（????）
A．，， B．，
C．， D．，，
4．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（????）
A．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
C．讲座后问卷答题的正确率的70百分位数是
D．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（????）
A． B． C． D．
6．气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（????）
A． B． C． D．
7．内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（????）
A． B． C． D．
8．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（???）
A． B． C．4 D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（????）
A．z的实部为 B．
C．在复平面内对应的点位于第二象限 D．
10．正方体棱长为2，直线与平面交于点为线段上的动点，则（????）
A．当为中点时，三点共线 B．存在点，使
C．直线与的夹角为 D．四面体的体积为定值
11．如图，在中，已知，边上的中点为边上的中点为，相交于点，则下列结论正确的是（????）
??
A．
B．的内切圆的半径为
C．与夹角的余弦值为
D．过点作直线交线段和于点，则的取值范围是
三、填空题
12．在复平面内，向量对应的复数是，向量对应的复数是，则向量对应的复数是．
13．已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于.
14．如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为.
四、解答题
15．如图，在正四棱柱中，，，点分别是线段，的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
16．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为100的样本，测量它们的尺寸（单位：），并将数据分为
，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中的x值；
（2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出7个产品，则每个区间分别应抽取多少个产品；
（3）记产品尺寸在内为A等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产2000件产品，以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到10000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，平面平面，M是的中点．
（1）证明：；
（2）若与底面所成角的正切值为，求二面角的正弦值．
18．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，且，求的值；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，，求的取值范围．
19．折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片中，，，所对的边分别为，，，的面积为，.
（1）证明：；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若，是的中点，现需要对纸片做一次折叠，使点与点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积.
参考答案
1．【答案】D
【详解】，
解得.
故选D.
2．【答案】B
【详解】由题意可得，即
所以.
故选B.
3．【答案】C
【详解】解：对于A选项，，，时，也可能满足，如图1，故错误；
对于B选项，，时，也可能满足，如图2，故错误；
对于C选项，，时，一定有，故正确；
对于D选项，，，时，不一定成立，如图3，故错误.
故选C
4．【答案】D
【详解】根据数据分析得到如下结果：
1
2
3
4