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两类分数阶微分方程的均方渐近概周期解和渐近

概自守解

摘要

近半个多世纪以来，分数阶随机微分方程在随机微分方程中占有越来越重

要的地位，具有很好地刻画遗传性和记忆性等性质的特点。因此，有关分数阶

随机微分方程均方概周期型解和均方概自守型解的研究是数学物理领域一个备

受关注的问题，受到许多国内外学者的青睐。结合分数阶微积分计算和随机分

析理论，本文研究的具体内容包括以下两部分：

1.针对一类线性分数阶随机微分方程的温和解进行研究。在扇形线性算子、

均方渐近概周期函数和Riemann-Liouville分数阶积分、导数的理论支持下，首

先探讨其温和解的均方渐近概周期性，其次采用反证的数学方法讨论此解的唯

一性。最后在线性微分方程基本结构不变的框架下，将其推广到对应的半线性

分数阶随机微分方程上，利用Banach压缩映射原理和一些微分积分不等式技巧，

探究此方程均方渐近概周期温和解的存在唯一性。

2.研究一类分数阶随机中立型泛函微分方程的均方渐近概自守温和解的性

质。在得出此方程的主要结论之前，首先给出Caputo分数阶导数、均方渐近概

自守函数以及分数幂的相关概念和引理。其次令此微分方程原温和解定义中的

一个变量趋向于负无穷，获得原温和解的等价定义。再次根据解析半群和无穷

小生成元的有关性质，对此微分方程建立适当的假设条件。最后以Itô积分等距

性质、Lebesgue控制收敛定理和Hölder不等式为推导工具，运用Banach压缩

映射原理，探究此方程均方渐近概自守温和解的存在唯一性。

关键词分数阶随机微分方程；均方渐近概周期温和解；均方渐近概自守温和解；

Banach压缩映射原理

-I-

Square-MeanAsymptoticallyAlmostPeriodic

SolutionsandAsymptoticallyAlmostAutomorphic

SolutionsonTwoClassesofFractional

DifferentialEquations

Abstract

Fornearlyhalfacenturyormore,fractionalstochasticdifferentialequations

occupyanincreasinglysignificantpositioninthedomainofstochasticdifferential

equations,whicharecharacterizedbyagoodportrayalofpropertiessuchas

heritabilityandmemory.Therefore,thestudyaboutsquare-meanalmostperiodicand

automorphictypesolutionsonfractionalstochasticdifferentialequationsisahighly

concernedprobleminthefieldofmathematicalphysics,whichisfavoredbymany

domesticandforeignscholars.Combiningfractionalcalculusandstochasticanalysis

theories,thespecificsofthestudyinthisthesisincludethefollowingtwoparts:

1.Themildsolutionsonaclassoflinearfractionalstochasticdifferential

equationareinvestigated.Withthetheoret