2024年高考全国甲卷数学(文)真题.DOCX

2024年高考全国甲卷数学(文)真题

数学

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设z＝2i，则z·z＝()

A．－i B．1

C．－1 D．2

D[依题意得，z＝－2i，故z·z＝－2i2＝2.

故选D.]

2．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝()

A．{1，3，4} B．{2，3，4}

C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，3，4，9}

C[依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，

则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，

于是A∩B＝{1，2，3，4}．故选C.]

3．若实数x，y满足约束条件4x-3y-3≥0，x-2y-2≤0，2x+6y-9≤0，

A．5 B．12

C．－2 D．－7

D[实数x，y满足4x-3y-3≥0，

由z＝x－5y可得y＝15x－15

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y＝15x－15z过点

联立4x-3y-3=0，2x+6y-9=0，解得x=3

则zmin＝32－5×1＝－7

故选D.]

4．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

A．14 B．1

C．12 D．

B[画出树状图：

甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为824＝13.

5．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，则a3＋a7＝()

A．－2 B．73

C．1 D．2

D[法一：利用等差数列的基本量

由S9＝1，根据等差数列的求和公式，S9＝9a1＋9×82d＝1?9a1＋36d＝1

又a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝29(9a1＋36d)＝2

故选D.

法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，a1＋a9＝a3＋a7，由S9＝1，根据等差数列的求和公式，

S9＝9a1+a92＝9a3+a7

故选D.

法三：特殊值法

不妨取等差数列的公差d＝0，则S9＝1＝9a1?a1＝19，则a3＋a7＝2a1＝2

故选D.]

6．已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()

A．4 B．3

C．2 D．2

C[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，

则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝62+-4-42＝10，|PF2|＝

则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝2c2a＝84

故选C.]

7．设函数f(x)＝ex+2sinx1+x2，则曲线y＝f(x)在点

A．16 B．1

C．12 D．

A[f′(x)＝ex+2cosx1+x2-ex+2sinx·2x1+x22，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋

8．函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的大致图象为()

AB

CD

B[f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，

又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C，

又f(1)＝－1＋e-1esin1－1＋e-1esinπ6＝e2

故可排除D.

故选B.]

9．已知cosαcosα-sinα＝3，则

A．23＋1 B．23－1

C．32 D．1－

B[因为cosαcosα

所以11-tanα＝3，解得tanα＝1

所以tanα+π4＝tanα+11-tan

故选B.]

10．已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()

A．2 B．3

C．4 D．6

C[设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为5，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得|PC|＝|xP－xC|＝1，所以|AB|＝252-12

11．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α∩β＝m.下列四个命题：

①若m∥n，则n∥α或n∥β；②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β；③若n∥α，且n∥β，则m∥n；④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n.

其中所有真命题的编号