2024年高考全国甲卷数学（理）真题【含答案】.docx
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2024年高考全国甲卷数学（理）真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（????）
A． B． C．10 D．
2．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
3．若满足约束条件，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前项和，已知，，则（????）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（????）
A．4 B．3 C．2 D．
6．设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（???）
A． B． C． D．
7．函数在区间的图象大致为（????）
A． B．
C． D．
8．已知，则（????）
A． B． C． D．
9．设向量，则（????）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
10．设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：
①若，则或??????????②若，则或
③若且，则???????④若与,所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（????）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
11．在中,内角所对的边分别为，若，，则（????）
A． B． C． D．
12．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（????）
A．1 B．2 C．4 D．
二、填空题
13．的展开式中，各项系数中的最大值为．
14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．
15．已知且，则．
16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为．
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
(1)填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）
附：
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
20．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
21．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出的直角坐标方程；
(2)设直线l：（为参数），若与l相交于两点，若，求.
23．已知实数满足．
(1)证明：；
(2)证明：．
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《2024年高考全国甲卷数学（理）真题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
B
C
A
B
B
C
A
题号
11
12
答案
C
C
1．A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
2．D
【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
3．D
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，
即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，