湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（含答案解析）.docx
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湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，则（???）
A． B． C． D．
2．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（????）
A． B．
C． D．
3．已知向量，，则（）
A．-1 B．-2 C．1 D．0
4．已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（????）
A． B． C．1 D．2
5．若向量满足，则在上的投影向量是（????）
A． B． C． D．
6．在中，，，则的值为（???）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在中，为中点，在线段上，且，则（????）
??
A． B．
C． D．
8．在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形
二、多选题
9．（多选）下列说法正确的是（????）
A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段
10．已知复数，以下说法正确的是（????）
A．的实部是5
B．
C．
D．在复平面内对应的点在第一象限
11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(????).
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题
12．的值为．
13．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于．
14．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为.
四、解答题
15．已知，计算：
(1)；
(2).
16．设，，向量，，，且，．
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值．
17．在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值．
??
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，的面积为，求b，c的值．
19．的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
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《湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
D
B
B
D
AC
ABC
题号
11
答案
AD
1．D
【分析】利用向量的坐标运算求解即得.
【详解】由向量，得.
故选：D
2．B
【分析】利用基底的性质结合选项可以判断.
【详解】因为，所以不能作为平面向量的基底，A不正确；
因为不共线，所以能作为平面向量的基底，B正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，C不正确；
因为，所以不能作为平面向量的基底，D不正确；
故选：B
3．C
【分析】应用平面向量数量积坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，，所以.
故选：C.
4．B
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为，
所以，解得.
故选：B.
5．D
【分析】先设投影向量是，利用解出即可得出答案.
【详解】设投影向量是，则，所以，
即在上的投影向量是．
故选：D.
6．B
【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：中，，
，
即，化简得，
解得或（不合题意，舍去），
，
故选：B．
7．B
【解析】求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式.
【详解】为的中点，则，
，，
.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查了平面向量减法法则的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．D
【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状.
【详解】，，
，
化简得，，
，即，
或，
，或，即或，
是直角三角形或等腰三角形.
故选：D.
9．AC
【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误.
【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确；