11　第二章　第4课时　函数的对称性.docx

第4课时函数的对称性

[考试要求]1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．2．会利用对称公式解决问题．

1．奇函数、偶函数的对称性

(1)奇函数的图象关于____对称，偶函数的图象关于___对称．

(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线____对称；若函数y＝f(x＋a)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象的对称中心为点________．

2．函数的轴对称和中心对称

(1)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)?f(2a－x)＝f(x)．

(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于点________对称．

(3)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＋f(b＋x)＝c，则函数f(x)的图象的对称中心为a+b2

3．两个函数图象的对称

(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于___对称；

(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于___对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于____对称．

(4)函数y＝f(a－x)与y＝f(x－b)的图象关于直线x＝a+b2

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若函数y＝f(x－1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()

(2)若函数y＝f(x＋1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．()

(3)若函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则f(x)的图象关于y轴对称． ()

(4)若函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．()

二、教材经典衍生

1．(人教A版必修第一册P85思考改编)函数f(x)＝x3＋x的图象关于()

A．x轴对称 B．y轴对称

C．原点对称 D．直线y＝x对称

2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y＝13

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称

C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称

3．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中，其图象关于y轴对称的是()

A．y＝x B．y＝x＋1

C．y＝2x2+1 D．y＝

4．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13(1)改编)函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知f(x)＝mx3＋nx＋1．

(1)若f(x)在[－6，6]上的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝________；

(2)若m＝1，n＝－3，则函数f(x)图象的对称中心为点________．

考点一轴对称问题

[典例1](1)已知函数f(x)＝3|x－a|＋2，且满足f(5＋x)＝f(3－x)，则f(6)＝()

A．29 B．11

C．3 D．5

(2)(2024·上海浦东新区期末)若函数f(x)＝xx+a的图象关于直线y＝x对称，则a

(3)已知函数f(x)＝e2x＋e-2x+2，证明函数f(x)的图象关于直线x＝12

[听课记录]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

轴对称的几种表述形式

(1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称?f(x)＝f(2a－x)?f(a－x)＝f(a＋x)；

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a+b2

[跟进