66 第八章 第6课时 直线与椭圆.DOCX
第6课时直线与椭圆
[考试要求]1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法．2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．
1．直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交?Δ____0；直线与椭圆相切?Δ____0；直线与椭圆相离?Δ____0．
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22?4x1x2或|AB|＝
[常用结论]
1．点P(x0，y0)和椭圆x2a2+y
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?x02
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?x0
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?x02
2．椭圆上一点处的切线方程
点P(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2＝1(a
3．关于－b2
(1)过原点的直线交椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则
(2)若M(x0，y0)是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行坐标轴)的中点，O为原点，则有kAB·kOM
一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦． ()
(2)过点A(0，1)的直线一定与椭圆x2＋y22＝1相交．
(3)直线和椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断． ()
(4)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ()
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆x2
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦
A．45 B．6
C．85 D．
3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)若直线y＝kx＋2与椭圆x23+
A．63 B．－
C．－33 D．
4．(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1T13改编)若点P是椭圆E：x24＋y2＝1上的动点，则点P到直线l：x－y－35＝0的距离的最小值是________，此时，点
考点一直线与椭圆的位置关系
[典例1](2025·江苏南通模拟)已知动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝254的距离的比是常数4
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)在E上是否存在一点使得它到直线4x－5y＋40＝0的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．
[听课记录]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点在椭圆内部或椭圆上来判定直线和椭圆是否有交点．
[跟进训练]
1．(1)(多选)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：x2
A．若C与l至少有一个公共点，则m≤22
B．若C与l有且仅有两个公共点，则m22
C．若m＝32，则C上到l的距离为5的点只有1个
D．若m＝－2，则C上到l的距离为1的点只有3个
(2)椭圆x29+y2
考点二弦长及中点弦问题
弦长问题
[典例2]已知椭圆C：x2＋2y2＝2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为π4的直线l交椭圆于A，B
(1)求弦AB的长和△ABF2的周长；
(2)求△ABF2的面积．
[听课记录]________________________________________________________________________________________________________________________