88 第八章 第6课时 直线与椭圆.docx
第6课时直线与椭圆
[考试要求]1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法．2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．
考点一直线与椭圆的位置关系
1．点P(x0，y0)与椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?x02
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?x02
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?x02
2．直线与椭圆的位置关系的判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交?Δ0；直线与椭圆相切?Δ＝0；直线与椭圆相离?Δ0．
[常用结论]
椭圆上一点处的切线方程
点P(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞
[典例1]已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24+y22＝1．当
(1)有两个不同的公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝-8m2＋
(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
反思领悟(1)本例研究直线和椭圆的位置关系，一般将直线与椭圆的方程联立，消元后利用判别式Δ与0的关系进行判断．
(2)对于过定点的直线，也可以通过判断定点与椭圆的位置关系来判断直线和椭圆的位置关系．
巩固迁移1(1)(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)与椭圆x28+y23
A．相离 B．相切
C．相交 D．随着m取值的变化而变化
(2)(2025·衡阳模拟)已知直线kx＋y＋2k＝0与椭圆x23+y24＝1
A．2 B．12
C．±2 D．±1
(1)C(2)C[(1)由直线mx－y－2m＋1＝0，得m(x－2)－y＋1＝0，
联立x-2=0，
∴直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)过定点(2，1)，
代入x28+y23＝1，有48
∴点(2，1)在椭圆x28+
则直线mx－y－2m＋1＝0(m∈R)与椭圆x28+y2
(2)依题意，联立x23+y24=1，kx+y+2k=0，消去y得(4＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－12
所以Δ＝(12k2)2－4×(4＋3k2)×(12k2－12)＝0，
化简整理得k2－4＝0，所以k＝±2．故选C．]
考点二弦长及中点弦问题
1．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝x2-x12+y2-y1
或|AB|＝x2-x12+y2-y12＝1+1k2|
特别地，过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径．无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为2b
2．中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．
(2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B的坐标代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得k＝－b2a2
弦长问题
[典例2](2024·承德二模)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(ab0)的左顶点到右焦点的距离是3，且椭圆C的离心率是12，过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，过左焦点且与直线
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求|AB|＋|MN|的取值范围．
[解](1)由题意得ca=12，a+c=3，解得a＝2，c＝1，则b
所以椭圆C的标准方程为x24+
(2)由(1)可知，左焦点F(－1，0)，
当直线l的斜率不存在或者斜率为0时，|AB|＋|MN|＝2b2a＋2a＝3＋4
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：y＝k(x＋1)，直线l′：y＝－1k(x＋1)
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
联立y=kx+1，x24+y23=1，整理得(4k2＋3)x2
此时Δ＝144(k2＋1)0恒成立，可得k∈R，
则x1＋x2＝-8k24k2+3，x1
因此|AB|＝x1-x22+y
同理可得|