福建省三明市第二中学2024-2025学年高三上学期第二次模拟考试数学试卷（解析）.docx
2024—2025学年（上）高三年级第二次模拟考试
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标.
【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，，
故抛物线的焦点坐标为.
故选：C.
2.已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解．
【详解】依题意，，
，所以．
故选：B
3.复数的共轭复数在复平面内对应的点位（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限.
【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限.
故选：B.
4.为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（）
A.1cm B.cm C.4cm D.cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据回归方程必过点求出，即可得到回归方程，再根据残差的定义计算可得.
【详解】因为，又经验回归方程必过点，
所以，解得，所以，
当时，
所以该样本点残差为.
故选：D
5.已知数列满足：，，，且，则数列的前100项和为（）
A.4050 B.4950 C.5050 D.4450
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出，再利用等差数列前n项和公式求解.
【详解】由，得，而，
则数列是首项为1，公比为2的等比数列，因此，，
所以数列的前100项和为.
故选：B
6.已知的内角的对边分别为，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理计算可得结果.
【详解】由利用正弦定理可得，
即可得.
故选：B
7.若函数有且仅有一个零点，则实数c的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到或，求出答案.
【详解】定义域为R，
，
令得或，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极大值，在处取得极小值，
且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于，
要想函数有且仅有一个零点，需满足或，
即或，解得或.
故选：D
8.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，以其底面圆心为球心，底面半径为半径的球和圆锥表面的交线长为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作圆锥的球的截面图，确定球与圆锥的交线，结合交线的形状大小确定结论.
【详解】作圆锥的轴截面，该截面与半球的截面为半圆，设半圆与分别交于点，
如图，由已知，为边长为的等边三角形，的中点为球心，半圆的半径为，
因为点在半圆上，所以，，，
所以，故点为的中点，同理可得为的中点，所以，
所以由对称性可得，圆锥与球的交线为两个圆，一个为圆锥的底面圆，周长为，
另一个为所有母线中点构成的圆，周长为，
所以交线长为．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.，则下列选项正确的有（）
A.
B.
C
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据二项式定理，利用赋值法可得解.
【详解】由已知二项式的展开式通项为，
令，可得，A选项正确；
由，
令，得，B选项正确；
根据二项式定理可知等于将展开后所有项的系数和，
将代入，可得，C选项错误；
设，
则令，可得
且，
令，可得；
则，D选项正确；
故选：ABD.
10.如图，在正方形中，，点在对角线上，且不与重合，过点作于点于点，连接，下列结论正确的是（）
A. B.若，则
C. D.的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据勾股定理计