第4节　向量中的最值（范围）问题.docx

第4节向量中的最值（范围）问题

一、单项选择题

1.（2025·扬州开学考试）已知向量a＝（3，1），b＝（1，3），则｜λa－b｜（λ∈R）的最小值为（）

A.2 B.3

C.1 D.3

2.已知平面向量a，b，｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a·b＝1.若｜c｜＝2，则（a＋b）·c的最大值为（）

A.25 B.10

C.2 D.5

3.（2025·泉州模拟）已知平面向量a，b满足｜a｜＝32，｜b｜＝1，并且当λ＝－4时，｜a＋λb｜取得最小值，则sin＜a，b＞＝（）

A.223 B

C.154 D.

4.（2025·绵阳一模）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则（PA＋PB）·（PC＋PD）的最小值为（）

A.－1 B.－2

C.－4 D.－6

5.（2025·沈阳模拟）已知单位向量a，b，若对任意实数x，｜xa＋b｜≥32恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为（

A.［π4，3π4］ B.［π

C.［π4，π2］ D.［π3

6.如图，在△ABC中，cos∠BAC＝14，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝152，则△ABC的面积的最大值为（

A.15 B.17

C.215 D.2

二、多项选择题

7.（2025·晋中模拟）在△ABC中，D为边AC上一点且满足AD＝12DC，若P为BD上一点，且满足AP＝λAB＋μAC，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是（

A.λμ的最小值为1

B.λμ的最大值为1

C.1λ＋13

D.1λ＋13

8.已知a，b是单位向量，且｜a＋b｜＝｜a－b｜，（c－a－b）·（c－2a）＝0，则下列说法正确的是（）

A.a·b＝0

B.若a·k＝n·a，则n＝k

C.｜c｜的最大值为2

D.c·b的最小值是1

三、填空题

9.（2025·绵阳模拟）已知圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则｜PA＋PB｜的最小值为.

10.（2025·秦皇岛一模）定义在[x1，x2]上的函数y＝f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量OA＝（x1，f（x1）），OB＝（x2，f（x2）），OM＝（x，y），且实数λ满足x＝λx1＋（1－λ）x2，此时向量ON＝λOA＋（1－λ）OB.若｜MN｜≤K恒成立，则称函数y＝f（x）在[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数.已知函数f（x）＝x2－2x在[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是.

四、解答题

11.设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，求PA12＋PA22

12.（2025·邵阳开学考试）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m＝（x1，y1），n＝（x2，y2），作OM＝m，ON＝n，当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S（m，n）＝｜x1y2－x2y1｜；当m，n共线时，易知S（m，n）＝0.

（1）分别根据下列已知条件求S（m，n）；

①m＝（2，1），n＝（－1，2）；

②m＝（1，2），n＝（2，4）；

（2）若向量p＝λm＋μn（λ，μ∈R，λ2＋μ2≠0），求证：S（p，m）＋S（p，n）＝（｜λ｜＋｜μ｜）S（m，n）；

（3）记OA＝a，OB＝b，OC＝c，且满足c＝λa＋μb，a⊥b，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，求S（c，a）＋S（c，b）的最大值.