69 第七章 第2课时 空间点、直线、平面之间的位置关系.docx
第2课时空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求]1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
考点一基本事实的应用
1．基本事实
基本
事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
基本
事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
基本
事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
基本
事实4
平行于同一条直线的两条直线平行
2．三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
[典例1]已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
[证明](1)如图所示，
连接B1D1．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β．
因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EFBD，
所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE?平面D1DCC1得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1．
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，
所以M∈CC1．
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
反思领悟(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：证明点为两平面的公共点，则这些点都在两平面的交线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
巩固迁移1(1)(多选)(2025·荆州中学模拟)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是()
AB
CD
(2)(2024·重庆一中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
(1)ABC(2)D[(1)对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；
同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．
(2)∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ．
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β．根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．]
考点二空间中点、线、面位置关系的判定
1．空间中直线与直线的位置关系
共面直线相交
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们可能平行或相交．
2．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
a∩α＝A
1个
平行
a∥α
0个
在平
面内
a?α
无数个
平面与
平面
平行
α∥β
0个
相交
α∩β＝l
无数个
3．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
[常用结论]
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
[典例2](1)(2024·常德一中月考)下列推断中，错误的是()
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB
C．l?α，A∈l?A?α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α，β重合
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(3)(多选)(人教A版必修第二册P131练习T2改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论正确的是()
A．直线AM与CC1是相交直线