精品解析：2025年高考上海卷数学真题（解析版）.docx
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2025年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）
1.已知全集，集合，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知.
故答案为：.
2.不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
3.己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据等差数列求和公式求解.
【详解】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
4.在二项式的展开式中，的系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用通项公式求解可得.
【详解】由通项公式，
令，得，
可得项的系数为.
故答案为：.
5.函数在上的值域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
6.已知随机变量X的分布为，则期望_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.
【详解】由题设有.
故答案为：.
7.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.
【详解】因为且四边形为正方形，故，
而，故，故，
故所求体积为，
故答案为：.
8.设，则的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，
当且仅当，即时取得最小值.
故答案为：4
9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
【答案】288
【解析】
【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.
【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有种排法.
故答案为：288
10.已知复数z满足，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
故答案为：
11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到）
【答案】
【解析】
【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在处，，在处满足，
（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），
故设，则，
由勾股定理，，解得，
于是
故答案为：
12.已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）
13.己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（）
A B. C. D.0
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件的概率公式可求.
【详解】因为相互独立，故，
故选：B.
14.设．下列各项中，能推出的一项是（）
A.，且 B.，且
C.，且 D.，且
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
15.已