高等代数电子教案.ppt

高等代数〔张禾瑞郝炳新〕

电子教案(Ⅰ);2.6多项式函数多项式的根;设给定R[x]的一个多项式;综合除法;由此得出;这样,欲求系数,只要把前一系数乘以c再加上对应系数,而余式的r也可以按照类似的规律求出.因此按照下所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:;例1;定理2.6.2;证;令

u(x)=f(x)–g(x)

若f(x)≠g(x),换一句话说,u(x)≠0,那么u(x)是一个次数不超过n的多项式,并且R中有n+1个或更多的根.这与定理2.6.3矛盾.;证设f(x)=g(x)那么它们有完全相同的项,因而对R的任何c都有f(c)=g(c)这就是说,f(x)和g(x)所确定的函数相等.

反过来设f(x)和g(x)所确定的函数相等.令

u(x)=f(x)–g(x)

那么对R的任何c都有u(c)=f(c)–g(c)=0这就是说,R中的每一个数都是多项式u(x)的根.但R有无穷多个数,因此u(x)有无穷多个根.根据定理只有零多项式才有这个性质.因此有

u(x)=f(x)–g(x)=0,f(x)=g(x).;2.7复数和实数域上多项式;证设f(x)是一个次多项式,那么由定理2.7.1,它在复数域C中有一个根因此在C[x]中;这样继续下去,最后f(x)在C[x]中完全分解成n个一次因式的乘积,而在f(x)C中有n个根.;证;若是是f(x)的重根,那么它一定是h(x)的根,因而根据方才所证明的,也是h(x)的一个根.这样也是的重根.重复应用这个推理方法,容易看出,的重数相同.;2.8有理数域上多项式;引理2.8.1;;证设;令的系数的最大公因数是那么;其中r与s是互素的整数,并且s0.由于f(x)是一整系数多项式,所以多项式的每一系数与r的乘积都必须被s整除.但r与s互素,所以的每一个系数必须被s整除,这就是说,s是多项式

的系数的一个公因数.但是一个本原多项式,因此;定理2.8.3(Eisenstein判断法);证若是多项式f(x)在有理数域上可约,那么由定理2.8.2,f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积:;不妨假定整除而不被p整除.g(x)的系数不能全被p整除,否则f(x)=g(x)h(x)的系数将被p整除,这与假定矛盾.令g(x)中第一个不能被p整除的系数是.考察等式;(i)的最高次项系数而的常数项;证由于是f(x)的一个根,所以;这里r和s是互素的整数并且s0,而vx–u和都是本原多项式.由此,和定理2.8.2的证明一样,可以推得s=1而;这个多项式的最高次项系数3的因数是常数项

–2的因数是所以可能的有理根是我们算出所以1与–1都不是f(x)的根.另一方面,由于;容易看出,－２不是的根,所以它不是的重根.;至此已经看到,商式不是整系数多项式,因此不必再除下去就知道,的根,所以它也不是f(x)的根.再作综合除法:;第三章行列式;3.1线性方程组和行列式;二阶与三阶行列式的引入;于是，当D≠0时，二元线性方程组的解可写成;同理，考虑三元一次线性方程组;上述定义说明三阶行列式含6项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1-2所示的对角线法那么：图中有三条实线看作是平行于主对角线的连线，三条虚线看作是平行于次对角线的连线，实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.;三阶行列式的规律;3.2排列;3.2.1排列、反序与对换;数码（显然;3.2.2奇、偶排列的性质;定理