第三章　§3.2　导数与函数的单调性.docx

§3.2导数与函数的单调性

课标要求1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.

1.函数的单调性与导数的关系

条件

恒有

结论

函数y=f(x)在区间(a，b)上可导

f(x)0

f(x)在区间(a，b)上?

f(x)0

f(x)在区间(a，b)上?

f(x)=0

f(x)在区间(a，b)上是?

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数f(x)的；?

第2步，求出导数f(x)的；?

第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0，则f(x)在此区间内没有单调性.()

(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f(x)0.()

(3)在(a，b)内f(x)≤0且f(x)=0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.()

(4)函数f(x)=x-sinx在R上是增函数.()

2.函数y=f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是()

A.f(x)在(-3，1)上单调递增

B.f(x)在(1，3)上单调递减

C.f(x)在(2，4)上单调递减

D.f(x)在(3，+∞)上单调递增

3.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为()

A.0，1e B

C.(1，+∞) D.(0，1)

4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=x2-ax+lnx(a∈R)的单调递减区间为12，1，则a=

谨防四个易误点

(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.

(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.

(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f(x)≥0(或f(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f(x)0(或f(x)0)恒成立，“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验.

(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f(x)0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f(x)0有解.

题型一不含参函数的单调性

例1(1)若函数f(x)=12x2-3x-4lnx，则函数f(x

A.(-∞，-1)，(4，+∞)

B.(-1，4)

C.(0，4)

D.(4，+∞)

(2)若函数f(x)=lnx+1ex，则函数f(

思维升华确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

跟踪训练1(多选)函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为()

A.(-∞，-1) B.(-1，0)

C.(0，1) D.(1，+∞)

题型二含参数的函数的单调性

例2已知函数f(x)=e2x+(a-2)ex-ax.

讨论f(x)的单调区间.

思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.

跟踪训练2(2024·扬州质检)已知函数f(x)=ax2-(a+4)x+2lnx，其中a0.

讨论f(x)的单调性.

题型三函数单调性的应用

命题点1比较大小或解不等式

例3(1)已知函数f(x)=lnx-xex，设a=f(log32)，b=f(log0.20.5)，c=f(ln4)，则a，b，

A.cab B.acb

C.bca D.cba

(2)(2025·成都模拟)已知函数f(x)=3x-sinx，若f(a)+f(a2-2)0，则实数a的取值范围为.?

常见组合函数的图象

在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.

典例(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有x1f(x1)?x2f(x2)x1?x20，则称函数y

A.f(x)＝ex B.f(x)＝x2

C.f(x)＝lnx D.f(x)＝sinx

命题点2根据函数单调性求参数

例4已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a≠0)

(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

思维升华由