2022-2024北京重点校高二（下）期末数学汇编：平面解析几何章节综合（人教B版）.docx

第PAGE1页/共NUMPAGES1页

2022-2024北京重点校高二（下）期末数学汇编

平面解析几何章节综合（人教B版）

一、单选题

1．（2024北京海淀高二下期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2024北京东城高二下期末）已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（????）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

3．（2024北京东城高二下期末）2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

4．（2024北京海淀高二下期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则.

5．（2024北京清华附中高二下期末）已知抛物线的焦点为，点A是抛物线上的动点．设点，当取得最小值时，；此时内切圆的半径为．

6．（2024北京东城高二下期末）已知双曲线的焦点为和，一条渐近线方程为，则的方程为.

三、解答题

7．（2024北京海淀高二下期末）已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.

(1)求椭圆的方程和离心率；

(2)若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值.

8．（2024北京第二中学高二下期末）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为8．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于，两点，求的最大值．

9．（2024北京东城高二下期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，.

(1)求的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

10．（2024北京延庆高二下期末）已知椭圆()的焦距为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的周长为16．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为．是否存在定点，使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2024北京第十二中学高二下期末）已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点．

(1)若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值；

(2)证明以为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标．

参考答案

1．C

【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离，

再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可.

【详解】

由，可得圆心，半径，

又，

当且仅当时，等号成立，

此时，

由等面积可得点到直线的距离，

又点到直线的距离，

解得，，

因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件.

故选：C.

2．C

【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解.

【详解】圆的圆心、半径分别为，

圆心到直线的距离为，

设直线被圆截得的弦长为，

由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论：

当时，，解得，

当时，，化简得，解得，

当时，，化简得，该方程无解，

当时，，化简得，该方程无解，

而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定，

综上所述，满足条件的直线共有3条.

故选：C.

3．B

【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.

【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点

设抛物线的方程为，则，解得，

抛物线的焦点，准线方程为，，

所以“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为.

故选：B

4．5

【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解.

【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，，

由消去得，则，由，得，

联立解得或，因此，所以.

故答案为：5

5．4

【分析】第一空，设，由题结合抛物线定义可得，后由基本不等式可得答案；第二空，由第一空可得面积及周长，即可得答案.

【详解】由题可得抛物线焦点为2,0，准线为：.

设，其中.

由抛物线定义可得，.

则.

当且仅当，即时取等号，则；

由第一空取，则，得周长为.

又面积为.

设内切圆的半径为，