2025高考数学一轮复习解析几何讲义 第五章 隐圆与蒙日圆问题（解析版）.pdf

第五章隐圆与蒙日圆问题

考情分析

1、隐圆与蒙日圆问题

从近几年的高考情况来看，在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及

隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，

难度为中高档，需要灵活求解.

知识梳理

【知识点1隐圆与阿波罗尼斯圆】

1．隐圆问题

在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆

(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”.

2．隐圆问题的几大类型

(1)隐圆类型一：到定点的距离等于定长；

(2)隐圆类型二：到两定点距离的平方和为定值；

(3)隐圆类型三：到两定点的夹角为直角；

(4)隐圆类型四：对角互补、数量积定值；

(5)隐圆类型五：阿波罗尼斯圆.

3．阿波罗尼斯圆

“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(-a,0)，B(a,0)(a0)的距离之比为正数λ(λ≠1)

的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.

【知识点2蒙日圆】

1．蒙日圆

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，

它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日

圆.

设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点，如

图.

【题型1隐圆类型一：到定点的距离等于定长】

【例1】（2024·全国·二模）已知直线:=+5∈与直线:+−+4=0∈

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3

相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（）

A．−22−3,−22−1

B．−22−3,22−1

C．−22−3,−22−1∪22+1,22+3

D．−22−3,−22−1∪22−3,22−1

【思路】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.

【解析】直线:=+5过定点0,5)，直线:+−+4=0过定点−4,1)，又

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直线⊥，

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因此点,的轨迹是以线段为直径的圆（除点(0,1)外），圆心−2,3)，半径=22，

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(+2)+(−3)=8(≠0≠1)3),||=1(0,1)

圆的方程为且，又，显然点与

的距离大于1，

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(−+(−3)=1

则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，

于是22−1≤||≤22+1，即22−1≤|+2|≤22+1，

解得−22−3≤≤−22−1或22−3≤≤22−1，

所以实数取值范围是−22−3,−22−1∪22−3,22−1.

故选：D.

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