典型例题：立体几何中的向量方法.doc

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3.2立体几何中的向量方法

【例1】如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，，点E在PD上，且PE:ED=2:1.试问在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC?证明你的结论.

【例2】如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B-AC-E的大小；

（3）求点D到平面ACE的距离.

参考

例1

【分析】由条件易知AP、AB、AD两两垂直，可建立如图所示空间坐标系，借助空间向量解答该问题.

【解】根据题设条件，结合图形容易得到：∠PAB、∠PAD、∠BAD均为，于是可建立空间坐标系，如右图.则得

ABCDEP

A

B

C

D

E

P

x

y

z

F

假设存在点F，.

又，，则必存在实数使得，把以上向量的坐标形式代入得

即有.

所以，在棱PC上存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC.

【点拨】本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，应掌握这种处理问题的方法.

例2

【分析】利用向量法，解决问题，求二面角B-AC-E的大小与求点D到平面ACE的距离，可先求平面的法向量，利用相应的公式解决.

【解】

（1)∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE.

（2）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，

建立空间直角坐标系O—xyz，如右图.

面BCE，BE面BCE，，

在的中点，

设平面AEC的一个法向量为，则解得

令得是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为，

∴二面角B—AC—E的大小为

（3）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离

【点拨】一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补.向量法求点P到平面的距离的公式为，其中平面的法向量.