1.2.2等差数列的前n项和（第1课时）（教学设计）高二数学（北师大版2019选择性必修第二册）.docx

2.2等差数列的前项和第1课时

教学设计

课时教学内容

掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．

课时教学目标

了解等差数列前n项和公式的推导过程.

掌握等差数列前n项和公式.

熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．

教学重点、难点

重点：等差数列的前n项和的应用

难点：等差数列前n项和公式的推导方法

教学过程设计

环节一创设情境，引入课题

实例分析

如图1-14,有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多少根圆木料?

根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成等差数列:

设共堆放了层,能构成正三角形垛的圆木料数为,则

环节二观察分析，感知概念

这是一个等差数列的求和问题.如何计算该等差数列的和呢?

对于这个问题,高斯在小学时就巧妙地求出了时的结果.

小高斯回答说:“我不是按照1,2,3的次序一个一个往上加的.老师,您看,一头一尾两个数的和都是一样的:1加100是101,2加99是101,3加98是.把一前一后的数相加,一共有50个101,101乘50,得5050.”

高斯的算法是

环节三抽象概括，形成概念

问题：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？

抽象概括

,公差为的等差数列,设是等差数列的前项和,即

的通项公式,上式可以写成

=1\*GB3①

再把项的次序反过来,又可以写成

=2\*GB3②

=1\*GB3①+=2\*GB3②得

因此,等差数列的前项和公式为

=3\*GB3③

这个公式表明:等差数列前项的和等于首末两项的和与项数乘积的一半.示意图如图1-15.

将代入=3\*GB3③式,得

=4\*GB3④

特别地,当时,个连续正整数的和

环节四辨析理解深化概念

思考交流

等差数列的前项和公式中共涉及哪几个相关量?这几个量分别表示什么?这几个相关量中,已知几个可以求出其他几个?判断的依据是什么?

本节开始提出的圆木堆放问题,可转化为求满足的最大自然数.易知当时,;当时,.故的最大值为19.此时,将堆放19层,剩余10根圆木料.

环节五概念应用，巩固内化

例6求从1开始的连续个正奇数的和.

解：因为正奇数数列是首项为1、公差为2的等差数列.由等差数列前项和公式,得

故从1开始的连续n个正奇数的和为.

你能看出图1-16与本题的关系吗?

例7在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图1-17),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板;从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:

(1)第9圈共有多少块石板?

(2)前9圈一共有多少块石板?

解：(1)设从第1圈到第9圈的石板数所成数列为,由题意可知数列是等差数列,其中首项,公差,项数.

由等差数列的通项公式,得

（块）.

（2）由等差数列的前n项和公式,得

（块）.

环节六归纳总结,反思提升

问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：

1.本节课学习的概念有哪些？

2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？

1．知识清单：

(1)等差数列前n项和及其计算公式．

(2)等差数列前n项和公式的推导过程．

(3)由an与Sn的关系求an.

(4)等差数列在实际问题中的应用．

2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．

3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．

环节七 目标检测，作业布置

完成教材：教科书练习第1,2,3题

练习

1.在本节开始的问题(1)中,求剧场共有多少个座位?

从2开始,n个正偶数的和.

3.在等差数列中:

(1)已知,求和;

(2)已知,求和.