2025 年全国中学生数学奥林匹克(广西赛区)选拔赛试题及解析.docx
2025年全国中学生数学奥林匹克(广西赛区)选拔赛试题及解析
一、填空题(每小题10分,共80分.)
1.已知虚数z使得z1=z1+z2和z
2.若log5x+2y+log5x
3.在x+4x+46的展开式中x4
4.已知△ABC的外心为O,且4OA+3OB+
5.数列an满足a0=13,且对一切自然数n都有an+1
6.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_____.
7.直线x5+y4=1与椭圆x225+y216=1相交于A、B两点,点P在该椭圆上
8.设Z+为全体正整数集,A=nn∈Z+,n3且n∣4,B=
二、解答题(9、10每小题15分,11、12每小题20分,共70分.)
9.在七个数字1,2,3,4,5,6,7的所有排列中,求至少有两个相邻数字不互质的概率.
10.已知fx=x-12,gx=4x-1;数列an满足an+1-ang
11.在RIΔABC的斜边AB上取一点D,使得ΔACD和ΔBCD的内切圆半径相等.求证
12.已知a,b,c
abc
2025年全国中学生数学奥林匹克(广西赛区)选拔赛试题参考答案
一、填空题(每小题10分,共80分.)
1.-
提示:z2
由z1+z1z2,1-z
于是z3=z2+
因此,z=-12+3
2.15
提示:由log5x+2y+
令u=x,t=y,k=x-y
3t2-2kt+5-k
当k=152时t=156,u=2
3.264
提示:因为x+4x+46=x+2
4.10
提示:不妨设△ABC的外接圆半径为1.由4OA+3OB+2OC=0得
同理可得OA?
∴BA?BC=OA-OB
又BA2
BC2
cos∠
5.2
提示:由an+1=an2+an
于是n=
由an+1=an2+a
6.8:27
提示:设球的半径为R,其内接圆锥的高为h,底面半径为r.则r2
V
当且仅当h=4R-2h,即
又V=43πR3
7.2
提示:P到直线AB的距离d=2S△PABAB=1841.过P点与AB
AB的方程为4x+5y=20,故1841
若k=38,则4x+5y=3816x2+25y2=400无解;
题设条件的点P有2个.
8.3375
提示:因为3,4,5的最小公倍数为60,所以每60个连续正整数所剩下的数的个数都是相同的,为60-603-604+6012+6015+6020-6060=36个,而
二、解答题(9、10每小题15分,11、12每小题20分,共70分.)
9.解:设a1,a2,
令事件B=a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7任意相邻两数都互质,事件
先对数字1,3,5,7作全排列,有A44种排列:再排数字6,不能与3相邻.在已经排好的排列中,1,3,5,7之间及首位末位设置5个空位,除去3的左右2个空位,还有3个空位可以排数字6,故数字6有3种排法:最后排数字2,4,由于2,4,6彼此都不互质,都不能相邻,故只能在剩下的4个空位,排上数字2,4,共有A42种排法.因此,任意两个数字都互质的排法共有A4
1,2,3,4,5,6,7一共有A77种排法.因此,PB=A44×3×A42A
10.解:由fx=x-12,
an+1-an
a1=2≠1.若ak≠1,则4ak+1-3ak
a
b
=
令tn=34n-1则bn=3tn
t1
当n≥4时,
因此,当n=3时,b3=-189256最小;当n=1时
11.证明:过D作DE⊥AC于E,DF⊥
设AC=b,BC=a
设AD=x,BD=y
设△ACD和△BCD的内切圆半径为
由△ADE∽△ABC可得DEBC=ADAB,即
同理可得DF=
故CD2
S△ACD=12r
(1)若x=y,则a=b,x=y=
CD2
(2)若x≠y,则CD=by-
故a2x2+b
于是,CD
12.证明:
(1)由ab2+
2
故ab2+bc2+ca
因此,abc≥a
(2)不妨设a=max{a,b,c
(i)若b+c-a≤0
(ii)若b+c-a0,令a+b-c=x
由y+z2≥4yz
同理可得1zx
1
x+y+zxyz≥
故