2025 年全国中学生奥林匹克数学竞赛(广东赛区初赛) 暨广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试试题及答案.docx
2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛(广东赛区初赛)暨广东省中学生数学奥林匹克竞赛一试试题及答案
一、填空题:本题组共10小题,每题8分,满分80分.
1.已知ex-1lnx+
2.随机选择正八面体的三个面,这三个面的中心构成的三角形是正三角形的概率为_____.
3.已知三角形ABC的外心O满足2OA+3OB+4
4.已知三次多项式fx满足fm=1m,
5.设ABCD是一个正方形,点E在正方形内,满足AE⊥DE,且∠EBC=∠EAB+45°.若AE
6.已知正实数a,b满足对任意的实数x均有acos2x-bcosx
7.定义在R上的函数fx,g
f
gx为偶函数,且gx0恒成立,已知f2+
8.平面上有三个同心圆Γ1,Γ2,Γ3,半径分别为1,2,3.任取三个点A1,A2,A3,满足点Ai
9.已知双曲线G:x2a2-y2b2=1a0,b0,斜率为-12的直线l与G的左右两支分别交于A,B两点,点Q-1,2不在
10.从集合S={1,2,3,…,30}中选出个位数字互不相同的10个数x1,x2,…,x10
二、解答题:本题组共2小题,每题20分,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11.已知数列满足:a1=1
b
(1)求b2025的值
(2)是否存在实数r,使得k=2n1ckr,对任意n≥2恒成立？若存在,求出
12.已知双曲线C:x23-y29=1,其左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线l与双曲线右支交于A、B两点,P、Q分别为ΔAF1F2和ΔBF1F2
(1)求四边形PF1QF2
(2)求DE的取值范围.
2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛(广东赛区初赛)加试试题
三、加试题:本题组共2题,每题40分,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.如图,△ABC与△DBA是等腰三角形,其中AB=AC,DA=DB,AD//BC.E在CA延长线上,满足∠DEB=∠DAE.在AD延长线上取一点
2.已知非负实数x1,x2,?,x5
S
2025年全国中学生奥林匹克数学竞赛(广东赛区初赛)一试答案及评分标准
一、填空题:本题组共10小题,每题8分,满分80分.
1.已知ex-1lnx+
【答案】2
2.随机选择正八面体的三个面,这三个面的中心构成的三角形是正三角形的概率为_____。
【答案】1
3.已知三角形ABC的外心O满足2OA+3OB+4
【答案】15
4.已知三次多项式fx满足fm=1m,
【答案】0
5.设ABCD是一个正方形,点E在正方形内,满足AE⊥DE,且∠EBC=∠EAB+45°。若AE=
【答案】2
6.已知正实数a,b满足对任意的实数x均有acos2x-bcosx≥-
【答案】2
7.定义在R上的函数fx,g
f
gx为偶函数,且gx0恒成立,已知f2+
【答案】-2025
8.平面上有三个同心圆Γ1,Γ2,Γ3,半径分别为1,2,3。任取三个点A1,A2,A3,满足点A1在圆
【答案】42
9.已知双曲线G:x2a2-y2b2=1a0,b0,斜率为-12的直线l与G的左右两支分别交于A,B两点,点Q-1,2不在
【答案】2
10.从集合S={1,2,3,…,30}中选出个位数字互不相同的10个数x1,x2,…,x10,其中任意两个数相差不为3
二、解答题:本题组共2小题,每题20分,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
11.已知数列满足:a1=1,a2
(1)求b2025的值
(2)是否存在实数r,使得k=2n1ckr,对任意n≥2恒成立？若存在,求出
【解答】(每问10分)
(1)
方法一:数学归纳法
b
b
b
猜想:bn
假设n=k时结论成立,即bk
当n=k+1时
b
=-
由数学归纳法知:bn=-1n+1
注:写bn=-
方法二:递推法
b
=-an
因此bn是公比为-1的等比数列.由初始值b1=1,得通项
b2025=
方法三:通项公式法
用特征根法可得数列an通项公式为
an=
代入bn=an
b
=
=
=
=
所以b2025=
(2)由(1)知:bk
∴
∴
因数列an