2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛一试A卷参考答案及评分标准.pdf

2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛） 暨 2021 全国高中数学联合竞赛 一试（A 卷）参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 等差数列{a }满足a a a 1 ，则a 的值为 ． n 2021 20 21 1 1981 答案： ． 4001 a 2020d1, 1 1981 解：设{a }的公差为d ．由条件知 解得 a ． n 1 2a 39d1, 4001 1 2 CAB 2. 设集合A{1, 2,m}，其中m为实数．令B a aA ， ．若 C的所有元素之和为6 ，则C的所有元素之积为 ． 答案：8 ． 解：由条件知1, 2, 4, mm, 2 （允许有重复）为C的全部元素． 2 2 注意到，当m为实数时，124mm 6, 124m 6 ，故只可能 是C{1, 2, 4, m}，且124m6 ．于是m1 （经检验符合题意），此时C 的所有元素之积为124( 1) 8 ． f (2) 3. 设函数f (x) 满足：对任意非零实数x ，均有f (x) f (1)x 1 ，则 x f (x) 在(0, ) 上的最小值为 ． 答案： 3 1 ． f (2) 解：令x1, 2 ，分别得f (1) f (1) f (2) 1 与f (2) 2f (1) 1 ，解得 2 3 3 1 f (2) 1, f (1