概率论与数理统计第三章PPT.pptx

3.4两个随机变量函数的分布二维离散型随机变量的函数的分布二维连续型随机变量的函数的分布和的分布商的分布最小值、最大值的分布课堂练习、作业

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?

二维离散型随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量,其联合分布律为是一维离散型随机变量.其分布律为则

01解依题意单击此处添加小标题02例1若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为单击此处添加小标题03于是单击此处添加小标题04i=0,1,2,…单击此处添加小标题05j=0,1,2,…单击此处添加小标题06的泊松分布.单击此处添加小标题

感谢您的观看r=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.

证毕证明X+Y的所有可能取值为0，1，…,m+n.我们还可以证明：如果X与Y相互独立，且X~b(n,p)，Y~b(m,p)，则X+Y~b(n+m,p).

二维连续型随机变量的函数的分布设是二维连续型随机变量,其联合概率密度为是一维连续型随机变量。其分布函数为是连续函数，其分布密度函数为则

例2设二维随机变量（X,Y）的概率密度为求随机变量Z=X+2Y的分布密度函数解

概率密度函数为所以，分布函数为：AnnualWorkSummaryReport

下面我们重点讨论连续型随机变量的三种函数的分布。第一章节

设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}解Z=X+Y的分布函数是:它是直线x+y=z及其左下方的半平面.一、的分布

交换积分次序固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得化成累次积分,得变量代换

由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.

特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.卷积公式

例3设X和Y相互独立，且010203040506070809解：只有当当时，时，～U（0,1）～E(1)，求Z=X+Y的概率密度。由卷积公式

当时，当时，Q1Q2Q3Q4

解由卷积公式例4若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.

可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).得令

用类似的方法可以证明:结论又如何呢?若X和Y独立,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).

相互独立，且定理3.4.1设～则～更一般地,可以证明:有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.

二、商的分布设X和Y的联合密度为f(x,y),求01的概率密度函数。02对任意实数Z，有分布函数03所以概率密度为04特别若X，Y相互独立得概率密度为05

三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:=P(X≤z)P(Y≤z)FM(z)1.M=max(X,Y)的分布函数即有FM(z)=FX(z)FY(z)

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(N≤z)=1-P(Nz)2.N=min(X,Y)的分布函数由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:=1-P(Xz)P(Yz)FN(z)

添加标题设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为1添加标题我们来求M=max(X1,…,Xn)和N