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2D各向同性和各向异性介质中SBP-SAT方法数值模拟

摘要

用于描述地震波传播的速度-应力形式微分方程组，常采用有限差分法进行求解。

该方法具有计算快捷、原理简单、适应能力强的特点，在地震波场模拟中应用广泛。有

限差分方法目前已衍生出多种高阶精度方法，不仅大幅降低误差，而且显著降低计算所

需自由度，节省内存占用，提高计算效率。然而在处理复杂几何形状模型时，传统有限

差分法容易产生虚假绕射和角点散射，甚至模拟不稳定；在处理边界条件时也需要对差

分格式进行修正，精度一般会低于介质内部并同样存在稳定性问题。这些难点在高阶方

法、变步长方法和非传统网格剖分方法中表现尤甚。

利用分部求和（SummationByParts,SBP）性质的差分算子和一致逼近项

（SimultaneousApproximationTerms,SAT）的边界施加方式建立的SBP-SAT方法在国外

应用广泛，该方法基于节点方法建立并将微分方程保留为微分形式，导数则近似为节点

解的线性组合形式表示。空间离散算子与弱边界施加方式结合有很多优点，矩阵形式算

子使得编程简便，计算效率也更高，同时边界条件也能适应多样的边界问题，这些大大

拓展了SBP-SAT方法的适用范围。

本文将多块SBP-SAT方法应用于各向同性和各向异性介质的波场信息获取，推导

了弹性波动方程的矩阵对称形式，得到矩形网格差分格式并推广到曲线域中。基于矩阵

对称型（SymmetricMatrixForm,SMF）的SBP-SAT框架施加无反射边界条件或自由边

界条件，借助能量法进行了系统的能量分析。论文的主要内容包括：

(1)对速度-应力形式的P-SV波弹性波动方程进行矩阵对称化处理整合至SMF体

系中，在此基础上使用SBP-SAT方法建立离散形式并使用能量法进行稳定性证明。将

直角域下的波动方程向曲线域转化，借助SAT将求解域划分为适当数量子计算域，施加

合适的边界条件，实现弹性波动SMF离散框架。

(2)各向同性介质波场数值模拟：对推导得到的方程组进行程序编写，模拟地震波

的传播。与COMSOL软件间断伽辽金法模拟结果进行比较，验证结果的正确性和时效

性。通过各向同性介质模型、分层介质模型和有曲线内边界的Corner-edge模型模拟得

到的波场快照和单炮记录，论述波场特征和传播规律；讨论空间步长和算子阶数对模拟

效果的作用，分析对比这些因素对数值频散的影响。

(3)各向异性介质波场数值模拟：描述了横向各向同性介质（TransverseIsotropy,TI）

的性质，得到了矩阵对称形式的弹性波动方程，在此基础上对具有垂直对称轴的横向各

哈尔滨工程大学专业学位硕士学位论文

向同性介质（VTI）模型、具有倾斜对称轴的横向各向同性介质（TTI）模型、分层VTI

介质模型、曲线分层复杂介质模型和含裂缝的VTI介质模型进行数值模拟，总结波场特

征和传播规律。借助VTI介质模型讨论Thomsen参数对波场的影响，为地质勘察和工

程应用提供参考。

关键词：弹性波动方程；P-SV波；SBP-SAT；TI介质；能量法

2D各向同性和各向异性介质中SBP-SAT方法数值模拟

ABSTRACT

Thevelocity-stressdifferentialequationsusedtodescribethepropagationofseismic

wavesareoftensolvedbythefinitedifferencemethod.Thismethodhasthecharacteristicsof

fastcalculation,simpleprincipleandstrongadaptability,andiswidelyusedinseismicwave

fieldsimulation.Atpresent,thefinitedifferencemethodhasderivedavariety