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基于GeoGebra运用的数学教学设计

[摘要]GeoGebra软件是探究数学、培养学科素养的重要教学工具.在中学数学中，平面向量基本定理的探究过程充分体现了GeoGebra软件在数学教学中的便利性.在发现和验证猜想的过程中，注重GeoGebra软件的多元表征功能和动态演示功能，能够深化学生对知识的理解，提高学生分析和解决问题的能力.

[关键词]GeoGebra软件;平面向量基本定理;代数与几何

GeoGebra软件的教学价值

1.信息技术对教学的重要性

随着教育信息化的发展，技术—教学法—内容知识（简称TPACK）成为国内外教师教育和教育技术学研究的一个重要领域.每一位教师都是教育信息化乃至技术整合的关键因素，也是教育变革的自主行动者[1].中学数学教师面临的最大教学挑战是平衡学生心理、教学用具和信息技术之间的关系.在数学教学中，依据学生心理，结合教学用具和信息技术，简化知识，使其易懂，并让数学知识在学生脑海中更加生动灵活.现有的数学软件包括几何画板、GeoGebra和Mathematica等，它们具有不同的功能和作用.

2.GeoGebra软件的功能和作用

2001年美国数学教授MarkusHohenwarter创建了一个GeoGebra项目，并于2008年对其进行软件化.GeoGebra是自由且跨平台的动态数学软件，主要包含几何（Geometry）和代数（Algebra）.该软件功能强大、开源免费，内有代数区、绘图区（分为平面和3D）、表格区、概率区等功能块，既可简单地直接书写数学公式，也可在工具、命令、脚本三个层次探究复杂的数学课题.在中学数学教学中，GeoGebra软件可用于课堂演示、学生互动、作业检查等多个方面.利用GeoGebra软件进行数学教学，可优化教学内容呈现形式，丰富师生互动方式，有利于激发学生的学习兴趣.

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，无论是在数学课程中，还是在数学教学中，都需要突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过数形结合体会数学知识间的联系，加强对数学知识整体性的理解[2].“平面向量基本定理”教学可从物理、几何、代数三个角度展开，用GeoGebra软件引导学生理解和掌握定理，充分发挥信息技术在数形结合思想方面的优势.

基于GeoGebra软件的数学教学设计

1.教学内容分析

向量既是代数研究对象，也是几何研究对象.在教学“平面向量及其应用”这一章节时，教师通常按照代数对象的研究路径展开，在此过程中通过对向量运算、运算律的几何意义的研究，以及用于解决几何问题来体现其几何属性[3].向量基本定理既是沟通代数与几何的桥梁，也是连接直线、平面、空间的要素.

在“平面向量基本定理”教学中，如何自然地引入GeoGebra软件进行辅助，首先要理清这一章节的整体知识框架（如图1所示）.可以看出，在“平面向量基本定理”教学前，探究向量问题主要从几何角度出发，抓住向量的大小和方向进行运算;在“平面向量基本定理”教学后，探究向量问题主要从代数角度出发，抓住向量的坐标表示进行运算和研究性质.因此，在“平面向量基本定理”教学中，可以从几何角度切入，得到代数结论.

2.教学现状分析

很多教师对这一课时的教学并不重视，往往将定理结果灌输给学生，以便尽快进入向量坐标表示的教学.究其原因如下：第一，教师认为平面向量基本定理不够重要，其不是考试重点，对其蕴含的数学思想的认识不足;第二，定理中“任意向量a”“不共线向量e1，e2”无法动态呈现，教师只能让学生凭借直观想象，理所当然地接受这一结论.

面对第一种原因，教师要充分理解平面向量基本定理的重要性，要不断追问自己：为什么要讲解这个定理？为什么被称为“基本定理”？这一定理的作用是什么？能够解决什么样的数学问题？教师在课前要深入钻研教材，确保充足知识储备进行教学.

面对第二种原因，教师可以借助GeoGebra软件辅助教学，利用GeoGebra软件的动态演示功能，不仅可以解释和说明向量a的任意性，还可以解释和说明基底的任意性.利用GeoGebra软件，用“形”探究“数”，用“数”表达“形”，可以培养学生多元表征意识和能力，促使学生深刻理解平面向量基本定理.

3.教学过程设计

（1）新知导入

教材分析人教A版（2019）教材（下文简称教材）首先回顾向量共线定理，强调向量共线与平面向量基本定理的联系，旨在用类比和比较的方法建构线性运算，培育学生基底化意识.在此基础上，教材利用物理上的“力的合成和分解”提出问题、导入新知：能否通过平行四边形法则将向量a分解为两个向量呢？沿用教材这一思路，我们首先回顾向量共线的充要条件，发现“一个向量无法表示平面内所有向量”这一事实，引出本节课的学习主题.

问题1如图2所示，给