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江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷.docx

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江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、单选题

1.已知集合,,则(???)

A. B. C. D.

2.数据的方差是5,则数据的方差是(???)

A.9 B.10 C.19 D.20

3.已知直线,的斜率分别为,,倾斜角分别为,,则“”是“”的(???)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知向量,,则向量在向量上的投影向量为(????)

A. B. C. D.

5.在等比数列中,若,则(???)

A. B. C. D.

6.(???)

A. B. C.1 D.2

7.记为不超过的最大整数,则方程的实数解的个数为(????)

A.2 B.3 C.4 D.5

8.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,,,则球的表面积为(????)

A. B. C. D.

二、多选题

9.已知,,关于的方程有一个根为,为虚数单位,另一个根为,则()

A.该方程不存在实数根 B.,

C.对应的点在第三象限 D.

10.假设A,B是两个事件,且,,,则(???)

A. B.

C. D.

11.数学中有许多形状优美的曲线,如图,曲线与轴交于,两点,与轴交于,两点,点是上一个动点,则(???)

A.点在上

B.面积的最大值为1

C.曲线恰好经过4个整点(即横,纵坐标均为整数的点)

D.

三、填空题

12.的展开式中,的系数是.(用数字作答)

13.写出与圆和圆都相切的一条直线方程.

14.已知函数及其导函数的定义域均为,若是奇函数,,且对任意,,则.

四、解答题

15.已知函数.

(1)求在上的单调递增区间;

(2)已知的内角的对边长分别是,若,求面积的最大值.

16.已知数列是等差数列,其前和为,数列满足

(1)求数列的通项公式;

(2)若对数列,在与之间插入个1,组成一个新数列,求数列的前2025项的和.

17.设,已知函数.

(1)当函数在点处的切线与直线平行时,求切线的方程;

(2)若函数的图象总是在轴的下方,求的取值范围.

18.已知椭圆:()的离心率为,短轴长为2.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若直线与椭圆相切于点.

(ⅰ)证明:直线与直线的斜率之积为定值;

(ⅱ)设椭圆的右焦点关于的对称点为,求证:直线过定点.

19.如图1,由射线构成的三面角,二面角的大小为,类比于平面三角形中的余弦定理,我们得到三维空间中的三面角余弦定理:.

(1)如图2,在三棱锥中,为等腰直角三角形,为等边三角形,,求二面角平面角的正弦值;

(2)如图3,在三棱锥中,平面,连接,,求三棱锥体积的最大值;

(3)当时,请在图1的基础上,试证明三面角余弦定理.

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《江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

C

B

C

B

A

ABD

BCD

题号

11

答案

BCD

1.B

【分析】先求得集合,再根据交集定义求解.

【详解】,又,

所以,

故选:B.

2.D

【分析】利用方差的性质求解即可.

【详解】因为数据的方差是5,

所以数据的方差是.

故选:D.

3.D

【分析】利用倾斜角与斜率的关系,利用赋值法可得结论.

【详解】因为直线,的斜率分别为,,倾斜角分别为,,

所以,,

取,,满足,可求得,,此时,

所以“”是“”的不充分条件;

取,,满足,但,此时,

所以“”是“”的不必要条件;

所以“”是“”的既不充分又不必要条件.

故选:D.

4.C

【分析】令和的夹角为,根据投影向量的定义直接求解即可.

【详解】令和的夹角为,

则,

则向量在向量上的投影向量为.

故选:C

5.B

【分析】利用等比数列的性质可求得结果.

【详解】在等比数列中,若,则,

由等比数列的性质可得,故.

故选:B.

6.C

【分析】根据诱导公式、两角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化简求值即可.

【详解】原式

.

故选:C

7.B

【分析】利用函数的性质,将函数写成分段函数形式,将方程解的个数的问题转化成相对应的函数图象交点的个数求解即可.

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