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“线性代数”教学改革的实践和思考

王军霞郭艳凤

［摘要］从“线性代数”课程的内容特点和教学现状以及中国地质大学的办学特色出发，在教学内容方面，除了重视基础理论以外，提出了加强代数与几何的联系、重视应用实例在引入新教学内容时的作用，以及强调矩阵初等变换和向量组理论的重要性等举措。在教学方法和教学手段方面，从渗透数学思想方法、加强与高等数学的联系、善于类比和联系以及积极开展第二课堂等方面进行教学改革，以期增强教学效果，进而提高学生的学习兴趣，锻炼学生解决实际问题的能力，提升学生的数学素养。

［关键词］线性代数；教学内容；教学方法和教学手段

［基金项目］2020年度中国地质大学（武汉）教改项目“线性代数金课建设”（2020G24）；2022年度高等学校大学数学教学研究中心项目“面向新时代地质创新育人的大学数学课程教学新模式的研究与实践”（CMC202202预02）

［中图分类号］G642.0［文献标识码］A［文章编号］1674-9324（2023）27-0017-04［收稿日期］2022-08-12

“线性代数”课程是理工科乃至某些文科专业的一门重要基础理论课，具有逻辑严密、高度抽象、符号独特、应用广泛等特点，其理论知识也是做离散化处理的重要基础。因此，线性代数理论是学生将来从事各项科学研究所必须具备的数学基础，其中蕴含的数学思想和理论方法也是理工科学生学习后续课程的基础。

一、“线性代数”的内容特点与教学现状

“线性代数”课程的主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型等基本理论知识，其教学内容承前启后，语言论述严谨科学，逻辑推理环环相扣，因此，一些学生学习时感到概念抽象、内容繁杂，学习上存在较大困难。中国地质大学大部分院系把“线性代数”课程开设在大二上学期，由于还没有接触过多的专业知识，学生不了解“线性代数”在其专业课程中的作用。如何突破以往“重理论、轻应用，重理论推导、轻数值计算”的传统教学模式，增强学生学习的积极性与主动性，建立以培养学生对知识的理解、应用、实践、创新为主的新型教学模式，是我们亟须直面的问题。

二、教学内容的改革

在基础理论层面，要以基本概念为主，适当忽略一些定理的严格证明，补充关于定义与定理的发展历程，不要让学生在对定义与定理的内容还处于懵懂状态时就被它严谨的证明过程给搞晕了。在整个教学过程中，注重引导和启发学生，时刻关注学生的学习感受，有针对性地帮助学生理解和思考。在计算技能方面，有针对性地训练学生及时抓住重点而不被一些旁枝末节的东西所羁绊。积极为学生创设开放式、探究式的学习情境，鼓励学生自主学习，从过程中感悟数学的魅力，提升数学素养。

（一）加强几何与代数的紧密联系

北京航空航天大学数学与系统科学学院李尚志教授曾用“空间为体，矩阵为用”八个字来概括线性代数的研究对象和方法［1］。线性代数处理的对象是空间和变换，是三维空间上的解析几何；处理的工具主要是矩阵，是用代数方法研究高维上的几何问题。

代数和几何有很多地方相对应，比如：代数上解二元线性方程组对应于几何上两条直线的交点、解三元线性方程组对应于平面的交点，向量组线性无关是二维上两个向量不共线、三维上三个向量不共面在高维上的延伸。

为减少向量空间这一抽象概念给学生带来的困惑，可以将高等数学向量代数的内容与线性代数相结合，它们之间的结合是空间直角坐标系中三维向量的几何表示（有向线段）和代数表示（向量的坐标）之间的一一对应。特殊向量e1，e2，e3是空间直角坐标系中三条坐标轴上的正向单位向量，实质是三维向量空间的规范正交基。从三维上的几何形象过渡到维向量组的线性相关性、极大无关组以及维向量空间的规范正交基，使学生从感受形象思维慢慢过渡到形成抽象思维。同时，加深从低维到高维实质内涵的理解，使其认知维度逐步清晰和系统，教学更加符合认知规律。

（二）借助应用实例，引入教学内容

现有的《线性代数》教材注重理论体系，编排结构紧凑，逻辑性强，强调基本定义、定理及其证明。教师大多是受过严格数学训练的专业教师，教学偏重数学的严密性和表述形式的标准性，缺乏趣味性和应用性，易给学生造成“线性代数”课程空洞抽象、枯燥无用的印象。

线性代数中的定义虽然抽象，但都是从实际问题中经过抽象概括得到的，只是限于时间，教师没办法把每个定义的发展历程呈现给学生。所以，对于一些难理解的知识点，教师可以适当介绍定义产生的历史背景，这种以实际问题为背景给出定义的方式更容易使学生接受。比如矩阵乘法，如果教师直接给出定义，学生会觉得莫名其妙，为什么和加法一样对应位置上的元素相乘还放在对应位置上？如果我们给出一个生产中的实例，学生就容易理解并快速接受矩阵乘法运算了。矩阵乘法运算不满足交换律，为什么会出现这样的情况呢？如果教师从矩阵乘法对前后两个矩阵