天津市咸水沽第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题（解析）.docx
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高一数学第二学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小照给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足：，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义结合复数虚部的概念求解即可.
【详解】，，
，，
，的共轭复数的虚部为，故D正确.
故选：
2.对于平面向量，，，下列叙述正确的是（）
A.若，则 B.若与是单位向量，则
C.若，则 D.若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】举反例判断A，C，D，利用平面向量数量积的定义判断B即可.
【详解】对于A，若，此时，而且，故A错误，
对于B，因为与是单位向量，，
所以，故B正确，
对于C，当时，若，则，故C错误，
对于D，当时，满足，，而不一定有，故D错误.
故选：B
3.已知点，则与向量同方向单位向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出，再求出，最后根据与同方向的单位向量为计算即可.
【详解】因为，，
所以，则，
得到与同方向的单位向量为，故C正确.
故选：C
4.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
【点睛】平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
5.若与的数量积为6，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的定义结合给定条件得到，再代入得到方程，最后结合求解夹角即可.
【详解】因为，所以，
即，而，
得到，解得，
因为，所以，故B正确.
故选：B
6.在中，，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由题意：
在方向上的投影向量为:
.
7.在锐角中，，，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为原点，所在直线为轴建立坐标系，得到，找出三角形为锐角三角形的的位置，得到所求范围.
【详解】解：以为原点，所在直线为轴建立坐标系，
，，
，
设
是锐角三角形，
，，
即在如图的线段上（不与，重合），
，
，.
则，
的范围为.
故选：A.
【点睛】本题考查向量数量积的应用，考查数形结合的方法，属于较难题.
8.如图，在中，，，与交于点，过点作直线，分别交，于点，，若，，则的最小值为（）
A. B. C.2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量基本定理将表示成，再根据共线确定，由三点共线，得，对照两式得方程组，消去，推得，最后利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】因三点共线，则存在，使，
因，则点为的中点，故，
又点在上，故，解得，故①，
因三点共线，则存在，使得②，
由①，②可得，消去，即得，即，
于是，
当且仅当时，的最小值为.
故选：A.
9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可．
方法二：根据三角形三边关系排除即可．
【详解】方法一：设的外接圆半径为R，
则，
因为，
所以，
可得，
即，
可得，
因为，，
所以，
结合，可得，
又，所以，
可得，
则的周长为
，
因为，所以，
则，
可得
故周长的取值范围为
方法二：由，可知周长，排除ABD，
故选：C
【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.
10.若复数在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则实数________．