定积分发展史.pptx

第3章积分及其应用;微积分;积分;数学历史最早可追述到与我们极其遥远社会发展早期。可能早于文字形成，数思想已在人们生活中逐步形成，即使经历了长久发展后，其体系分支庞大与应用广泛令世人惊叹，但至今为止却没有一个人能够为数学给出一个公认定义。;微积分产生是数学上伟大创造，它从生产技术和理论科学需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺乏工具。;微积分学是微分学和积分学总称。它是一个数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

与微分学相比，积分学起源要早很多。其概念是由求一些面积、体积和弧长引发。;一、准备阶段;1、第一个阶段;2、第二个阶段;抛物线弓形面积;阿基米德螺线;3、第三个阶段;;《测量酒桶体积新科学》;4、中国古代极限思想;4、中国古代极限思想;4、中国古代极限思想;二、创建阶段;1、奠定基础：笛卡尔解析几何;2、牛顿“流数术”;右侧是牛顿手稿，能够让我们看看微积分青涩模样→

一门学科草创之初，其实是非常混乱。实际上微积分还要过两三百明年才能变得靠近现在模样，愈加通俗易懂。;3、莱布尼茨;4、推广;三、完成阶段;首个用极限思想真正处理导数与积分问题科学家波尔查诺，他经过极限给出了积分定义,指出“∫”不能了解为一个和式，而是一个和式极限值。所以他认为，人们在应用定积分之前,必须首先确定积分存在性，即在积分定义下这个极限值存在性。

然而波尔查诺依然没有清楚地将极限本质展现出来，依然没有将极限基本概念解释清楚。

;直到19世纪，法国科学家柯西结合前辈思想深入较完整地阐述了极限概念，对变量，极限，连续，收敛等给出了明确定义，微积分长久纠缠在基础问题上局面终于被打破，为微分学和积分学提供了严谨理论基础，形成了以极限论为关键函数理论，经后人稍加丰富，就成了现在严谨数学分析学。;四、发展阶段;狄利克雷提出能够用一个新包容性更强积分理论来处理在闭区间上含有没有限多不连续点函数，这种理论同“无穷小量分析基本原理”相关。他从来没有在这个方面提出过什么思想，也从来没有指出过怎样对高度不连续函数积分。不过，他给出了一个说明这种情况存在例子，显示了柯西方法不足之处。这也就是著名狄利克雷函数：;狄利克雷优异学生黎曼试图找到不需要预先假设函数必须怎样连续就定义积分路径。使可积性同连续性分离是一个大胆、极有创见思想。

黎曼在1854年为取得德国大学教授职位而写“大学执教资格讲演”这篇高水平学术论文中，提出了黎曼积分。而现在在任何微积分学教程中，它都占据着突出地位。这个定义没有对连续性作任何假设。与柯西不一样，对黎曼来说，连续性并不成为一个问题。;有界函数黎曼积分从把定义域分为细小子区间一个划分开始，在这些子区间上构建矩形，它们高由函数值确定，最终令最大子区间宽度收缩为零。相反，替换勒贝格积分乃是基于一个简单而富有想象力思想：采取函数值域划分代替定义域划分。

;勒贝格在为普通读者编写一本书中，用一个比喻来对比黎曼方法与他自己方法。他想象一位零售商，在一天终止时想要汇总营业收入。对于这位店主来说，一个选择是“按照随机次序计算到手现金和账单”。勒贝格把这么一位零售商称为“缺乏系统观点”人，他依次累加搜集起来款项：1美元，10美分，25美分，另1美元，10美分如此等等。

勒贝格接着指出，假如不这么做，店主在结账时不考虑收到每笔款项，而代之以按款项面值分组，莫非不是更为可取吗？比如，可能共计收到10美分12笔，25美分30笔，1美元50笔，等等。这么，计算一天收入将变得很简单：用每种币值数量乘以币值，然而对结果求和。

勒贝格认可，对于商业经营中包括有限量，这两种方法产生一样结果。“不过对于我们必须求数目无限极微小量之和而言，”他写道，“这两种方法之间存在着巨大差异。”;;1826年，黎曼作为家中第二个孩子在德国汉诺威布雷斯伦茨村出生了。他父亲是村里牧师，母亲是法官女儿，按理来说会有点小钱，但他家庭生活却十分困难。

即使家里穷，不过黎曼父亲并没有放弃孩子们教育。而黎曼从小就表现出很强学习欲望，深受父母喜爱。;正因如此，5岁时黎曼就对历史产生兴趣，十分嫉恶如仇，经常要求他父亲重复讲述波兰故事。一年后，黎曼开始学算术，很快就显露出他天生数学才能：他不但处理了全部留给他问题，还会出一些更难题来捉弄他弟兄姐妹。;即使黎曼一直按照父亲意思学习神学和哲学方面知识，不过他在中课时就迷上了数学，而且还能轻松了解对于当初他来说比较高深数学知识。

1846年，黎曼成为了哥廷根大学学生，为了能尽快得到一个有酬劳工作，方便在经济上支援家庭，他选择了研读哲学和神学