数学建模之统计学基本概念与方法.ppt

苏格兰羊第31页，共67页，星期日，2025年，2月5日总体X的分布函数F含有未知的参数?，?所有可能的取值范围称为“参数空间”，记为?。从这个总体中抽取了一组样本X1，…，Xn，相应的样本观察值是x1，…，xn。应该如何估计出?的具体数值？点估计就是利用样本构造一个合理的统计量：g(X1，…，Xn)；用它的观察值g(x1，…，xn)去作为作为?的估计值。二.参数估计第32页，共67页，星期日，2025年，2月5日你可以用这组数据中的任何一个，或者样本均值，或者是样本中位数等，作为?的估计值。例2.1甲同学在一个体重仪上称她的体重，假定这个体重仪没有系统误差，每次称量的结果是真实重量?加上一个随机误差?k。一般认为?k~N(0,?2)，因此n次称量的结果Xk=?+?k~N(?,?2)第33页，共67页，星期日，2025年，2月5日矩估计：用样本的有关矩去作为总体有关矩的估计。即样本均值作为总体期望的估计；样本方差作为总体方差的估计；样本中位数(或众数)作为总体中位数(或众数)的估计等。极大似然估计：所有情况中“看起来最象”的那个估计常用的点估计方法第34页，共67页，星期日，2025年，2月5日例2.2.假定盒子里黑、白球共5个，但是不知道黑球具体数目。现在随机有放回抽取3个小球，发现是两个黑球和一个白球。问盒子里最可能有几个黑球？解：盒子里黑白球所有的可能有六种：5白，4白1黑、3白2黑，2白3黑，1白4黑，5黑以p记盒子里黑球所占的比例，则p全部可能的值是：{0，—，—，—，—，1}12345555第35页，共67页，星期日，2025年，2月5日定义三个统计量X1，X2，X3表示抽样结果：取到黑球记为1，否则记为0。因此X1，X2，X3独立同分布于参数p的两点分布。例题中的三个样本观察值x1，x2，x3有两个取值是1，一个取值为0。而样本的联合分布律显然是L(x,p)=px1+x2+x3(1-p)3-x1-x2-x3=p2(1-p)第36页，共67页，星期日，2025年，2月5日它的含义是：当盒中黑球比例为p时，随机事件“有放回取出的三个小球中有两个黑球、一个白球”的概率。对应于参数空间中不同的p，样本分布L(x,p)=p2(1-p)所对应的这些概率是：第37页，共67页，星期日，2025年，2月5日□p0，—，—，—，—，1L(x,p)0，—，—，—，—，0123455554121816125125125125既然“三个小球中包含两个黑球”是已经发生了的随机事件，因此使得这个事件发生概率取最大的那个值就是未知参数p最有可能的取值。即p的极大似然估计就是3/5。第38页，共67页，星期日，2025年，2月5日三.假设检验(一).假设检验的思想它是如下的一种统计推断：对于一个统计模型，我们提出一个假设，根据抽取到的样本，来作出是接受还是拒绝这个假设。小概率事件在一次试验中不应该发生。第39页，共67页，星期日，2025年，2月5日有一种饮料由Tea和Milk混合而成，按照顺序的不同，分为TM、MT两种，有位女士声称她有能力品尝出是TM还是MT。为了检验她的说法是否可信，准备8杯饮料，TM和MT各一半，并且把这一点告诉她。现在随机的让这位女士品尝，指出哪些是TM，最终的结果是她全部说对了。女士品茶第40页，共67页，