二次曲线的射影理论课件.ppt

§2.一維射影對應與二次曲線zz/??yx?/?退化二次曲線將在§3討論，現仍討論非退化的情形．證明定理3：定理3/給定每三線不共點的五線，恰有一條二級曲線包含這五線．定理3給定每三點不共線的五點，恰有一條二階曲線通過這五點．§2.一維射影對應與二次曲線aa/b(1)b(2)b(3)如圖，a、a/、b(1)、b(2)、b(3)是每三點不共線的五點，則對應關係a?b(i)?a/?b(i)(i?1,2,3)確定了線束a到線束a/的唯一射影對應T：a{b(1),b(2),b(3),?}a/{b(1),b(2),b(3),?}．??因b(1)，b(2)，b(3)不共線，故T為非透視射影對應．由定理2知，射影對應T的對應直線交點的軌跡是過這五點的二階曲線?．若二階曲線?*也過此五點，則由定理1、2，?*也可由上述射影對應確定．故?*??．azyfedcbxvu??/§2.一維射影對應與二次曲線例1已知三點形xyz的兩個頂點y、z分別在二定直線?、?/上滑動，且三點形的三邊分別通過不共線的三定點a、b、c，證明此三點形的第三頂點x的軌跡為一非退化二次曲線．分析：注意z?(y?c)??/，x?(a?y)?(b?z)．故，y?e時，z?v，x?e；y?u時，z?f，x?f；y?d時，z?d，x?d；y?(a?b)??時，x?b；同理，z?(b?a)??/時，x?a．由此可見，曲線應過點a、b、d、e、f．進而確定證明點a、b為心的二線束透視．azyfedcbxvu??/§2.一維射影對應與二次曲線證明：設e?(b?c)??，f?(a?c)??/，d????/．再設u?(a?c)?(d?e)，v?(b?c)?(d?f)，則{d,e,u,y}{d,v,f,z}，c又a{d,e,u,y}{d,e,u,y}，b{d,v,f,z}{d,v,f,z}．故a{d,e,u,y}b{d,v,f,z}．即a{d,e,f,x}b{d,e,f,x}．由於d、e、f不共線，所以x的軌跡為一非退化二次曲線．§2.一維射影對應與二次曲線求五點確定的二階曲線的三種方法：1.解方程組；2.交比法；這兩種方法運算量較大，一般採用下述方法：3.構造法：設1、2、3、4、5是每三點不共線的五點，(1)求出下述直線方程：1?3：L13?0，2?4：L24?0，1?4：L14?0，2?3：L23?0，(2)構造二次方程：L13L24??L14L23?0．(3)將點5座標代入，確定出?的值即得所求．§2.一維射影對應與二次曲線例2求過五點p(1,0,?1)、q(1,0,1)、r(1,2,1)、s(1,2,?1)、t(1,3,0)的二階曲線．解法一：設曲線方程為a11x12?a22x22?a33x32?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3?0．將五點座標代入得線性方程組，求解，得a11?a22?a33?2a12?2a13?2a23?3??1??3?2?0?0，故所求二階曲線為3x12?x22?3x32?2x1x2?0．解法二：構造射影線束p{q,s,t,x}r{q,s,t,x}則對應直線座標為p?q(0,1,0)?r?q(1,0,?1)；p?s(1,0,1)?r?s(2,?1,0)；p?t(3,?1,3)?r?t(?3,1,1)；p?x(x2,?x1?x3,x2)?r?x(2x3?x2,x1?x3,x2?2x1)．由(p?q,p?s;