定积分的换元法课件.ppt

定積分的換元法

先來看一個例子

4x2

例1dx

2x1

01

換元求不定積分令t2x1則x(t21)

2

11

t2t2

x2133

dx22dtttC

2x1t62

1331

(2x1)2(2x1)2C

62

4x222

故dx



02x13

嘗試一下直接換元求定積分

t21

為去掉根號令t2x1則x

2

dxtdt

當x從0連續地增加到4時，t相

應地從1連續地增加到3

dt1

(0)

dx2x1

4x21322

於是dx(t23)dt



02x1213

由此可見，定積分也可以象不定積分一

樣進行換元，所不同的是不定積分換元時要

回代原積分變數，而對定積分則只需將其上

、下限換成新變數的上、下限即可計算出定

積分，而不必回代原積分變數

將上例一般化就得到定積分的換元積分公式

一、換元公式

假设

（1）f(x)在[a,b]上连续；

（2）函数x(t)在[,]上是单值的且有连续

导数；

（3）当t在区间[,]上变化时，x(t)的值

在[a,b]上变化，且()a、()b，

b

则有f(x)dxf[(t)](t)dt.

a

證设F(x)是f(x)的一个原函数，

b

f(x)dxF(b)F(a),

a

(t)F[(t)],

dFdx

(t)f(x)(t)f[(t)](t),

dxdt

(t)是f[(t)](t)的一个原函数.



fttdt

[()]()()(),

()a、()b,

()()F[()]F[()]F(b)F(a),

b

f(x)dxF(b)F(a)

a



f[(t)](t)dt.

()()

注意当时，换元公式仍成立.

應用換元公式時應注意:

（1）用x(t)把变量x换成新变量t时，积分限也

相应的改变.

（2）求出f[(t)](t)的一个原函数(t)后，不

必象计算不定积分那样再要把(t)变换成原

变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限

分别代入(t)然后相减就行了.

a

例2計算a2x2dxya2x2

0xa

解1由定積分的幾何意義

a

22

axdxo

0a2

等於圓周的第一象限部分的面積

4

2

解22x22ax

2axdxaxarcsinC

a2