人教版2024-2025学年九年级数学下册《解直角三角形》专题01锐角的三角函数（含解析）.docx
专题锐角的三角函数【十大题型】
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【题型1锐角的三角函数概念辨析】 1
【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】 2
【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】 4
【题型4根据锐角的三角函数值求边长】 5
【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】 6
【题型6求特殊角的三角函数值】 7
【题型7同角的三角函数值的证明或求值】 8
【题型8互余两角的三角函数关系的计算】 8
【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】 9
【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】 10
【知识点1锐角三角函数】
在中，，则的三角函数为
定义
表达式
取值范围
关系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
【知识点2特殊角的三角函数值】
三角函数
30°
45°
60°
1
【题型1锐角的三角函数概念辨析】
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3
A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB
A．CDAC B．BDCB C．CDCB
【变式1-2】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）
A．b＝a?sinA B．b＝a?tanA C．c＝a?sinA D．a＝c?cosB
【变式1-3】图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上.请在图①、图②中各画一个图形，满足以下要求：
(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有两组对边相等．
(2)在图②中以AB为边画△ABD，使tan∠ADB=
【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】
【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为()．
A．13 B．45 C．23
【变式2-1】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，则tan
A．12 B．2 C．52
【变式2-2】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（????
A．52 B．53 C．23
【变式2-3】如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（
A．12 B．22 C．32
【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】
【例3】如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（????）
A．3 B．2 C．22 D．3
【变式3-1】如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13
A．13 B．1 C．223
【变式3-2】如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．
【变式3-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为
【题型4根据锐角的三角函数值求边长】
【例4】如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（????）
A．3 B．22+2 C．4
【变式4-1】如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）
A．32 B．332 C．
【变式4-2】如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB
【变式4-3】如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接
(1)求证：四边形BCED是菱形．
(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6，请直接写出BE
【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（?????）
①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；
②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；
③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；
④