矩阵理论 课件 第5章第2节矩阵函数.pptx

5.2矩阵函数

若A∈Cx,p(A)R,则称收敛的矩阵幂级数的和为矩阵函数，记为f(A),即

特殊地，当R=+0时，对任意A

根据定理5.12,只要方阵A的所有特征值都在幂的收敛圆内，矩阵幂级

就绝对收敛，它的和仍然是一个矩阵.现在给出矩阵定义.

的收敛半径为R,且当|z|R时，幂级数收敛于函数f(z),即

R

矩阵函数

矩阵函数的定义

矩阵函数的概念与通常函数的概念类似，不同的是，这里的自变量和因变量都是n阶方阵.

定义5.13设幂级数

根据这个定义，我们可以形式地得到与微积分中的一些函数类似的矩阵函数.已知

矩阵函数

其中，eA、sinA、cosA分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数，它们均绝

对收敛.

在各自的收敛域内均收敛，因此，对于A∈Cn×n,有

矩阵函数

在理论与工程应用中，经常用到以上含参数的矩阵函数.

值得注意的是，在微积分中，指数函数具有的运算规律e²e²=e²e²¹=e²1+22,在矩阵分

析中，eAe⁸=e³e⁴=eA+B一般不再成立.例如，令则A²=A,B²=B,

从而

A=A²=A³=…,B=B²=B³=…

因此

若将矩阵函数f(A)中的变量换成At,t为参数，则f(A)相应地变为

,t|p(A)R

矩阵函数

可得(A+B)²=2(A+B),进而得到

(A+B)k=2k-¹(A+B),k=1,2,…

由此容易推出

可见，eAeB,eBeA,eA+B

矩阵函数

互不相等.

又由

因为AB=BA,所以eAeB=eA+B.同理可证e³e⁴=eA+B.

特殊地，

eAe-A=e-AeA=e⁰=E,(eA)-¹=e-A,(eA)=emA

其中，m是整数.

如果A和B可交换，则有eAeB=eBeA=eA+B.事实上

矩阵函数

对于A∈Cn×n,下面再列出一些常见的矩阵指数函数及矩阵三角函数的性质.

(1)sin(-A)=-sinA,cos(-A)=cosA.

(2)sin²A+cos²A=E.

(3)ei⁴=cosA+isinA,(4)cos2A=cos²A-sin²A,sin2A=2sinAcosA.

(5)当AB=BA时，有

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

矩阵函数

方法1利用矩阵的Jordan标准型计算矩阵函数

,其收敛半径为R,

矩阵函数的计算

矩阵的计算本来就很复杂，根据定义计算矩阵函数显然更加复杂.因此，需要寻求计算

矩阵函数的其他方法.本节主要介绍计算矩阵函数的两种主要方法.

矩阵函数

其中，若lk,则C=0.因此

矩阵函数

矩阵函数

因为的收敛半径为R,且2R,所以

SW(λ₀),[SN(λ₀)],…,[SM(A₀)](m-1)

收敛，且

矩阵函数

因此

其中，,i=1,2,…,s,其相似变换矩阵为P,即A=PJP-¹.

若|λ|R(i=1,2,…,s),则矩阵幂级收敛，其和为

定理5.14(Lagrange-Sylvester定理)设幂级数,其收敛半径为R,矩阵A的

Jordan标准型为

矩阵函数

矩阵函数

根据引理5.1即可得证.

其中

根据定理5.14,将利用Jordan标准型计算矩阵函数的步骤总结如下.

第一步：求A的Jordan标准形J及相似变换矩阵P和p-¹.

第二步：求f(J).

第三步：计算f(A)=Pf(J)P-¹.

例5.10证明det(eA)=eA

证设J是A的Jordan标准型，λ,λ₂,…,λ是A的特征值，则存在非奇异矩阵P,使得

A=PJP-¹.因此

det(eA)=det(e)=e²+A₂+…+A=