数学技术方法在水文学中的应用.pptx

第七章

数学技术方法在水文学中的应用

水文学中常用的数值方法参数率定常用的数学方法参数灵敏度分析的数学方法7.17.27.3主要内容

7.1水文学中常用的数值方法7.1.1有限差分法有限差分法的基本思想：把微分方程连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，然后用各离散格点上待求函数的差商来近似代替该点的微商，原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

030201有限差分法概述差分的格式：在精度上分为一阶格式、二阶格式和高阶格式；在空间上分为中心格式和逆风格式；在时间上分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。构造差分格式的方法一般有三种：（1）数值微分法；（2）积分插值法；（3）待定系数法。

差分的基本概念一阶差商的定义式为：那么当增量h很小时，我们可以用差商来近似代替微商，即：（）（）

差分形式又分为三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分。其中，中心差分的截断误差最小。01对于二阶微商同样也可以用二阶差商来近似表示，即：02（）03

有限差分法的求解过程有限差分法的求解过程为：首先，将原微分方程离散化为差分方程组。其次，差求解分方程组。另外，为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

有限单元法有限单元法的基本思想是：首先，利用变分原理把所要求解的边值问题的微分方程化为与之等价的泛函求极值的变分问题；然后，将定解区域划分为有限个互不重叠的子单元，并利用剖分插值把变分问题近似地化为多元函数的求极值问题，从而得到一个线性代数方程组，即所谓的有限元方程；最后，求解得到原问题的数值解。

有限单元法概述01有限单元法的计算格式：按计算单元网格划分为三角形网格、四边形网格和多边形网格；按权函数不同可划分为配置法、矢量法、最小二乘法和伽辽金法；按差值函数的精度可划分为线性插值函数和高次插值函数等。02单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。03

变分的基本概念添加标题这里需要首先介绍一下泛函的概念。泛函就是函数的函数，表示的是一个变量随某个函数而变化的关系。例如：添加标题S()=添加标题(7.1.7)添加标题S()的值取决于函数(x)，因此，S()就称为函数(x)的泛函。添加标题

=添加标题=++…添加标题当待求函数由变为1=+时，泛函的增量可以表示为添加标题(7.1.8)添加标题

其中，添加标题=添加标题(7.1.9)添加标题即泛函增量的线性部分就称为泛函的一阶变分或变分，其余的高阶项则分别称为二阶变分、三阶变分。添加标题

泛函的极值条件是其变分为零，即=0。01通过化简整理可知：泛函欲取极值，则函数就必须满足微分方程02(7.1.10)03这个方程就称为欧拉方程。因此，泛函求极值的变分问题可以转化为求解欧拉方程的问题。只要能够构成一个泛函使其相应的欧拉方程为所求问题的微分方程，那么就可以把所求问题转化为等效的泛函求极值的变分问题。04

有限单元法的求解过程有限元方法的解题步骤可归纳为：建立积分方程；区域单元剖分；确定单元基函数；单元分析；总体合成；边界条件的处理；解有限元方程。

有限体积法有限体积法（FiniteVolumeMethod，FVD），又称控制体积法、广义差分法。其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重叠的、形状规则或不规则的单元或控制体，将待解的微分方程对每一个控制体积分，得出一组离散方程。其中的变量定义在控制体的形心，是网格点上的因变量的数值。根据控制体内质量、动量守恒定律列出质量、动量平衡方程，在计算出通过每个控制体边界沿法向输入输出量后，对每个控制体分别进行质量和动量平衡计算，即可求出待求未知量。

由于只需对边界进行离散和插值，使解题的维数降低一维，大大减少了工作量；由于处于边界上的奇异解在线性代数方程组的系数矩阵中会有最大的对角线主元，因此，代数方程组不会是病态的，可以减少计算误差的积累；离散化的误差只发生在边界，而域内函数值和其导数值是直接用解析公式计算的。函数值和其导数值的计算精度是相同的。边界单元法边界元法主要有以下几个特点：边界单元法（BoundaryElementMethod，简称BEM），又称边界积分方程—边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界单元插值离散，化为代数方程组求解。

7.2参数率定常用的数学方法7.2.1最小二乘法在研究某一个问题时，往往通过建立一个模型来求得某些量