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小学教师业务学习材料

聚焦小学数学系列七：开启从错误中学习的新视角

错误在学习中普遍存在

错误并不仅仅出现在学习活动中。一般而言，人们是在认识论

的范畴中讨论“错误”，把它与“真理”作为相对的概念提出的，

认为“错误”就是与客观实际不相符合的认识。

但是，当人们讨论学校学习活动中的“错误”时，错误的概念

发生了变化。人们认为错误是学生在学习过程中所产生的各种不同

于“标准观念”或“标准答案”的想法或做法。与认识论的“错

误”概念比较，变化如下：

其一，错误往往被教师理解为学习活动的结果不符合教学要

求。如在一堂“分数、小数加减混合运算的简便计算”课中，教师

要求学生在算式“0.38+（）-7/5”的括号中填上合适的数，使得计

算比较简便，并计算出算式的结果。学生提出填上1.62，使得加法

运算的结果为2，但教师却认为这一填法不正确。在这一练习中，

教师简便计算的“标准观念”并不只是一级运算，无论学生填写

1.62或7/5都不符合教师的“标准观念”。教师希望学生考虑简便

的二级运算，最佳的运算结果是0。且不论教师对简便计算的“标

准观念”是否真的标准，从这一教学现象中我们不难发现，学生学

习结果的错误往往是指不符合教师预设的教学要求。衡量的标准从

“客观实际”变为“教学要求”，被赋予了更强的人为色彩。

其二，这种学习结果不仅包括认识（观念），也包括行为（做

法）。数学学习过程中的“做法”通常指的是技能，包括计算技能

与解决问题的技能。因为它不会直接对现实生活造成伤害，因此，

学习过程中的错误既被理解为“观念”，又被理解为“做法”。这

两者在学习过程中是紧密联系在一起的。教师可以通过学习过程中

错误的“做法”去折射学习者错误的“观念”。

在数学学习中，学生的错误是普遍的。我们可以毫不夸张地

说，每一位数学学习者在数学学习活动中都发生过错误。个体正是

通过对抗数学学习中的错误，丰富了自身的认识经验，从而获得发

展的。

数学学习中的错误更是必然的。首先，数学活动是一种包含有

猜测、错误与尝试，证明与反驳，检验与改进的复杂过程。因此，

学生在经历这一数学活动过程时产生错误在所难免。其次，数学研

究的对象是对现实生活理想化的抽象，许多在现实生活中有原型的

数学概念，学生很难区分其与生活概念的差异，因为处于具体形象

思维阶段的学生会出现认知不足，进而产生错误观念。例如，学生

在理解三角形高的概念时，由于在日常用语中“垂线”只指铅垂位

置，所以学生很难理解其他位置的高，更难把握三角形的外高。正

是由于这些学习错误具有普遍性与必然性，它们的产生也是有理

由、有规律可循的。因此，在建构主义看来，错误的产生具有合理

性。有学者认为，从学习者身上观察到的一系列错误表明，错误不

是教给的，而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。

错误的价值与有价值的错误

在学生的学习过程中，正确有可能是一种模仿，而错误却大凡

是一种经历。因为许多错误是学习者在主动构建知识时形成的。在

教育活动中，错误是重要的教育资源。

首先，错误的教育价值在于它展现了学生的思维历程。“在数

学学习活动中，错误表征着学生思想的航行，活动的展开。错误可

能意味着学生一次观念的冒险、体验的丰富、超越的契机。”有一

个学生提出了这样的疑惑：认识三角形内角和时，我们是通过把长

方形沿着对角线一分为二，已知长方形的内角和是360度，一分为

二得出直角三角形的内角和就是180度。那么把一个等腰三角形沿

着高一分为二，小的直角三角形的内角和为什么不能是90度呢？尽

管学生通过类比推演得出小三角形内角和的结论是错误的，但是，

学生在错误经历中的思考与质疑却是难能可贵的。

其次，错误可以使理解和记忆更加深刻。学生经历错误后，如

果教师通过展示学生的错误，辩论错误观点，纠正错误过程，那

么，学生会对自身的错误理解得更深刻、记忆得更牢固。因为在错

误经历中，学生获得了在平坦的大路上难以见到的景致，也许正是

学生经历了一次次错误的探险，感受到心理的挫折、惊喜与顿悟，

才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质。

再其次，它折射了学生数学学习的难点问题。学生在数学学习

活动中难以理解、难以把握的内容往往成为教学的难点。学生在学

习中的错误正是学习难点的折射。当然，并不是学生所有的错误都

折射了数学学习的难点，在教师的教学设计中也无法关注每一个学

生的错误，这必