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常微分方程知识点总结

一、基本概念。

1.常微分方程。

-定义：含有一个自变量和它的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的等式称为常微分方程。例如：y+2y=0，其中y=y(x)是未知函数，x是自变量，y是y对x的一阶导数。

-阶：方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。如y+3y+2y=sinx是二阶常微分方程。

2.解与通解、特解。

-解：如果函数y=φ(x)代入微分方程后，使方程成为恒等式，则称y=φ(x)是该微分方程的解。

-通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。例如y=C_1e^x+C_2e^-x是二阶微分方程y-y=0的通解（C_1,C_2为任意常数）。

-特解：在通解中确定了任意常数的解称为特解。比如在y=C_1e^x+C_2e^-x中，当C_1=1,C_2=0时，y=e^x就是y-y=0的一个特解。

二、一阶常微分方程。

1.可分离变量方程。

-形式：g(y)dy=f(x)dx。

-解法：对等式两边分别积分，即∫g(y)dy=∫f(x)dx+C，得到方程的通解。例如对于方程y=(x)/(y)，可化为ydy=xdx，积分得(1)/(2)y^2=(1)/(2)x^2+C，即y^2=x^2+C_1（C_1=2C）。

2.齐次方程。

-形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))。

-解法：令u=(y)/(x)，则y=ux，y=u+xu，原方程化为u+xu=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的解法求解。例如对于方程y=(y)/(x)+tan(y)/(x)，令u=(y)/(x)，得到x(du)/(dx)=tanu，再分离变量求解。

3.一阶线性微分方程。

-形式：y+p(x)y=q(x)。

-解法：利用常数变易法或公式法求解。公式法的通解为y=e^-∫p(x)dx(∫q(x)e^∫p(x)dxdx+C)。例如对于方程y+2xy=x，这里p(x)=2x,q(x)=x，先计算e^-∫2xdx=e^-x^{2}，然后通解为y=e^-x^{2}(∫xe^x^{2}dx+C)=e^-x^{2}((1)/(2)e^x^{2}+C)=(1)/(2)+Ce^-x^{2}。

三、二阶常系数线性微分方程。

1.二阶常系数齐次线性微分方程。

-形式：y+py+qy=0（p,q为常数）。

-解法：特征方程为r^2+pr+q=0。

-当Δ=p^2-4q0时，特征方程有两个不同实根r_1,r_2，通解为y=C_1e^r_1x+C_2e^r_2x。

-当Δ=p^2-4q=0时，特征方程有重根r，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx。

-当Δ=p^2-4q0时，特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±βi，通解为y=e^αx(C_1cosβx+C_2sinβx)。

2.二阶常系数非齐次线性微分方程。

-形式：y+py+qy=f(x)（p,q为常数）。

-解法：先求出对应的齐次方程的通解Y，再求非齐次方程的一个特解y^*，则非齐次方程的通解为y=Y+y^*。

-当f(x)=P_m(x)e^λx（P_m(x)是m次多项式）时，特解y^*的形式为x^kQ_m(x)e^λx，其中k根据λ是否为特征方程的根而定（λ不是根时k=0，是单根时k=1，是重根时k=2），Q_m(x)是与P_m(x)同次的待定多项式。

-当f(x)=e^αx(Acosβx+Bsinβx)时，特解y^*的形式为x^ke^αx(Ccosβx+Dsinβx)，k根据α±βi是否为特征方程的根而定（不是根时k=0，是根时k=1）。

四、可降阶的高阶微分方程。

1.y^(n)=f(x)型。

-解法：通过n次积分求解。例如对于y=x，第一次积分得y=(1)/(2)x^2+C_1，第二次积分得y=(1)/(6)x^3+C_1x+C_2，第三次积分得y=(1)/(24)x^4+(1)/(2)C_1x^2+C_2x+C_3。

2.y=f(x,y)型（不显含y）

-解法：令y=p，则y=(dp)/(dx)，原方程化为(dp)/(dx)=f(x,p)，这是一个一阶微分方程，求出p=φ(x,C_1)后，再积分y=∫φ(x,C_1)dx+C_2得到原方程的通解。

3.y=f(y,y)型（不显