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三次B样条曲线骨架卷积曲面造型1

张海林，金小刚，冯结青

浙江大学CADCG国家重点实验室，杭州310027

摘要卷积曲面在树、海生物等复杂光滑物体的造型中具有重要的应用价值。本文提出了

一种基于B样条曲线降阶的三次B样条曲线骨架卷积曲面造型方法。首先通过顶点扰动降阶

方法把三次B样条曲线骨架(C11

连续)降阶为C连续的二次B样条，然后应用二次B样条曲线

骨架的卷积曲面势函数计算方法得到三次B样条曲线骨架的势函数。

关键词卷积曲面，隐式曲面，降阶，几何造型

1.前言

参数曲面造型是大多数曲面造型系统的基础。参数曲面具有易于精确控制、绘制方便等

优点。但是，在用参数曲面构造光滑封闭的曲面时，我们很难做到光滑拼接。特别是，在造

好的形体上再添加一个部件并保持拼接处的光滑性几乎是不太可能的。为了克服这些缺陷，

在计算机图形学中引入了一些新的造型方法，代表性的是隐式曲面造型技术。隐式曲面和参

数曲面相比，其主要优点是混合方便。由于不存在拼接问题，隐式曲面在表现水、云、树干、

人体肌肉的造型和动画方面有很大的优势。隐式曲面的缺点是难以精确控制、绘制较困难。

隐式曲面造型和参数曲面造型有很大的互补性。隐式曲面造型技术主要包括元球[1]、距离曲

面[2][3][4][5]

、卷积曲面、变分曲面、blob树等。

卷积曲面造型是在计算机图形学中广泛使用的一种隐式曲面造型方法。首先由

Bloomenthal和Shoemake于1991年提出[3]。卷积曲面实质上是骨架模型通过卷积方式所定义

生成的标量场的一个等值面。骨架模型通常是一些点、线段、面片和体素的组合。运用这种

方法定义的隐式曲面很好地解决了距离曲面中的鼓包和裂缝问题，并且生成的曲面保持了原

有骨架的大体形状。但是在计算骨架的势函数时，由于要进行卷积积分运算，结果不一定能

解析表达出来。因此，在实际使用时，骨架模型和卷积核函数的选取非常受限制。骨架基本

上是一些点、直线段和三角面片等简单的骨架元，核函数通常只有Gaussian函数[3]、Cauchy

函数[6,7]和截断多项式核函数等。三次B样条由于次数低、形状控制方便等优点，是拟合曲线

骨架的一种最有效方法。然而，由于其弧元微分的复杂性，我们不能解析表达出其势函数。

现有的方法主要是采用采样插值或线性逼近等方法[8][9]。插值近似计算不能很好地反映原有

曲面的形状；而采用线性逼近，由于逼近多边形连续性差，不可避免地会产生皱折和膨胀。

针对这个问题，本文提出了基于降阶的三次B样条曲线骨架卷积曲面势函数计算方法。

1本课题得到教育部博士点专项基金(20020335070)和国家自然科学基金资助

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首先在给定误差下将三次B样条曲线（C连续）降阶为C连续二次B样条曲线。然后，插入重

节点转化为分段二次Bézier曲线表示,再通过二次Bézier曲线的势函数解析计算方法[10]来计

算原三次B样条曲线的势函数。这样，我们可以直接用三次B样条曲线骨架进行卷积曲面造型，

并且避免了采样插值和线性逼近带来的一系列问题。

2．卷积曲面

设P∈R3,3为一个势函数，gRR:3→为表示一个几何骨架的三变量函数

fRR:→

1，P∈几何骨架

⎧

(g)P⎨

0，其它