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光学经典理论｜傅里叶光学基础

今天的光学经典理论为大家带来的是傅里叶光学基础，傅里叶光学是现代光学的

一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。

光学人们可以看看！

在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅

里叶频谱分析方法。在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理

论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。

两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频

率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是

空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的

傅里叶变换。

包含内容

60年代发明了激光器，使人们获得了新的相干光源后，傅里叶光学无论在理论

和应用领域均得到了迅速发展。傅里叶光学运用傅里叶频谱分析方法和线性系统

理论对广泛的光学现象作了新的诠释。其主要内容包括标量衍射理论、透镜成

规律以及用频谱分析方法分析光学系统性质等。

推导演示

一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传

递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。从信息论角

度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，

也可以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一

个通信信道。

这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。当物

体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）

关系。而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)

（狄喇克δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源

δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅

仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函

数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空

间位移而变（即等晕条件）。光学系统的脉冲响应又称点扩展函数（见光学传递

函数）。一旦系统的点扩展函数已知，系统对任意物体f(x，y)所成的像g(ξ,η)

可以从物体上每个点源产生的点扩展函数的线性叠加求得

。

在空间位移不变情况下，叠加积分又可简化为卷积。

。

空间频率

在信息论中,还常用频率响应概念,即输入各种不同频率的信号,观察系统相应的

输出,从频率响应曲线可以了解系统对各种频率的传递情况。在光学系统中同样

可以引入频率响应的概念，所不同的是瞬时频率响应由空间频率响应所代替。与

瞬时频率是时间函数acosωt周期的倒数一样，可以定义空间函数的周期d的倒

数v=1/d(单位：线／毫米)为空间频率。以最简单的物体──光栅──为例，可

用函数1+Acos(2πvx)表示，其中v＝1/d，d是光栅常数。

根据傅里叶分析,任意复杂物体f(x，y)可写成傅里叶变换关系式

，

式中F(vx,vy)是物体的空间频谱,。其物理意义是把复杂f(x,y)分解成许多简单

基元函数的线性组合,而空间频谱F(vx，vy)只不过是一个权重因子，把它加到

各自基元函数上。基元函数可更形象地看成是一些不同取向〔θ=tg-1(vy/vx)〕、

不同空间周期L=

的光栅（图1），而每一个这种光栅在物函数中所占比重用权重因子──空间

频谱F(vx，vy)所定。

这样，一个光学系统对f(x，y)的响应可分解为对各个基元函数的响应，再把每

个响应叠加起来，便得到总的响应。同样，可以写出逆变换

。

对已知物体f(x，y)可以算出它的空间频谱分布。

透镜的傅里叶变换性质从标量衍射理论知道，考虑旁轴近似条件，在菲涅耳

衍射（近场）区内，孔径平面(x，y)与观察平面(ξ，η)上光场之间的关系为

称为菲涅耳变换。式中f(x，y)是衍射孔径平面上光场振幅，g(ξ，η)是观察

平面上的光场振幅，с是常数位相因子，u＝2πξ/λz，υ＝2πη/λz是空间

角频率，z是平面之间距离。由上式可见互为傅里叶变换关系，其中是二次相位

因子。当观察平面远离孔径平面时，即，上式变为夫琅和费衍射(远场)。此时衍

射图像g(ξ，η)为孔径平面中光场分布f(x，y)的傅里叶变换,或称为f(x，y)

的空间频谱。有趣的是一个薄凸透镜的透过率函数