精品解析：北京市中关村中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷（原卷版）.docx

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线过点，则直线倾斜角为（）

A. B. C. D.

2.圆心为且过原点的圆的方程是（）

A. B.

C. D.

3.焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（）

A. B. C. D.

4.长方体中，，则异面直线与所成角大小为（）

A B. C. D.

5.已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

7.已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（）

A.3 B. C.2 D.

8.已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（）

A. B. C. D.

9.记等差数列的前项和为，若，则（）

A. B. C. D.

10.已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（）

①若，则数列的前项和；

②若，数列的前项和为，则是递增数列；

③若数列是递增数列，则.

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.

11.双曲线的焦点到顶点的最小距离是______.

12.经过点，且与直线平行的直线方程是______.

13.抛物线上一点到焦点的距离等于3，则点的坐标为______.

14.已知等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为______.

15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论：

①曲线关于原点中心对称；

②曲线上点的横坐标取值范围是

③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为；

④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.如图，在正方体中，点分别是棱的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面．

17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，、分别为、的中点，过的平面交于点，平面平面；

（1）证明：为的中点；

（2）取的中点，连接，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（i）到平面的距离；

（ii）二面角的余弦值.

条件①：

条件②：平面.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，，

（1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程；

（2）若弦长，求的值.

19.已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为.

（1）求椭圆标准方程及焦点的坐标；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：.